Cтраница 2
Кроме задач Лагран-жа, рассматривают еще Майера задачи, Больца задачи и ряд других. [16]
Общие постановки задач вариационного исчисления формулируются в форме задач Лагранжа, Майера и Больца. [17]
Предположим, что решение задачи оптимального управления Майера (5.1) - (5.3) ( или Больца (5.1), (5.3), (5.5)) существует и, кроме того, принципу максимума удовлетворяет только одно допустимое управление. Тогда это управление и является оптимальным. Отметим, однако, что в общем случае принцип максимума представляет собой лишь необходимое условие оптимальности, а не достаточное. Иными словами, траектория t) и управление u ( i) могут удовлетворять всем условиям принципа максимума, но не быть оптимальными. [18]
Управление и системой (3.1) осуществляется для достижения ряда заранее поставленных целей, которые часто можно записать в терминах минимизации некоторых функционалов, зависящих от траектории движения системы и управления. В зависимости от способа задания минимизируемого функционала ( называемого также критерием качества) принято различать задачи Лагранжа, Майера и Больца. [19]
Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера - Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности ( уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса - Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа AJ, которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления ( за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны: некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости ( газа) в канале магнитодинамиче-ского генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. [20]
Результаты, относящиеся к космическим наукам, в данной книге излагаются отдельно от других в части под названием Оптимальное управление. Это никоим образом не означает, что они независимы от остального содержания; просто они сложнее, и поэтому лучше излагать их позже, когда основные понятия и методы уже разъяснены на более простом материале. Рассмотрение этих вопросов представляет собой в сущности исследование вариационных задач, известных как задачи Лагранжа и Больца. [21]
Рассмотрим задачу оптимального управления с подвижными концами и фиксированным временем классического типа. Эта задача отличается от рассмотренной выше задачи (9.24) тем, что изменяются краевые условия, и критерий оптимальности может иметь любой из указанных при классификации видов, т.е. в этом случае задача оптимального управления может быть вариационной задачей Лагранжа, Больца и Майера. Когда концы закреплены и время фиксировано, задача оптимального управления может быть только задачей Лагранжа. [22]