Cтраница 3
В этом параграфе мы укажем некоторые пути использования аппроксимаций Паде для изучения более глубоких вопросов существования в теории поля и рассмотрим их связь с перенормированной теорией возмущений. Данный подход приводит здесь к сопоставлению задач теории поля с соответствующими проблемами в статистической механике. Важным шагом в этом направлении является теорема Нельсона [ Nelson, 1973 ], которая показывает, что теорию бозонного поля можно полностью изучить в евклидовом пространстве, а соответствующая теория в пространстве Минковского всегда может быть построена исходя из евклидовой теории. Некоммутирующие операторы в евклидовом пространстве обычной теории поля заменяются коррелированными случайными полями. Иногда в евклидовом пространстве используется ультрафиолетовое обрезание решеточного типа. [31]
Перечисление областей применения моделирования может быть продолжено. Среди других достоинств моделирования следует выделить решение задач теории поля, задач, связанных с выявлением существенных и несущественных характеристик системы, с изучением влияния внешних условий на поведение системы. Достаточно сказать, что в настоящее время моделирование занимает вполне определенное место во всех областях системотехники. Во многих случаях сложность больших промышленных и военных систем такова, что моделирование становится необходимым этапом на одной или нескольких стадиях от начала разработки до ее окончательного освоения промышленностью. [32]
В книге такого объема мы не имеем возможности, не уклоняясь от нашей главной темы, воздать должное всем методам решения. Метод Винера - Хопфа является одним из многих методов, применяемых для решения задач теории поля, или, с несколько иной точки зрения, одним из многих методов решения сингулярных интегральных уравнений. Задачи, точно решаемые методом Винера - Хопфа, в ряде случаев с достаточной степенью точности также можно - ре-шить каким-либо другим методом, причем решение иногда оказывается более простым. Это замечание относится, в частности, к приближенным методам, рассматриваемым в этой главе. [33]
При этом процедура расщепления обусловлена стремлением сконструировать такой комплексный метод решения этих задач, который бы целесообразно сочетал в себе достоинства и локализовал недостатки методов аналогового ( квазианалогового) и цифрового математического моделирования и реализующих их средств вычислительной техники. Таким образом, практическая реализация идеи расщепления позволяет сконструировать метод гибридного математического моделирования, сочетающий в себе быстродействие и решение задач теории поля на основе теории подобия и аналогий ( квазианалогий) с универсальностью, высокой степенью автоматизации и относительно малой погрешностью процессов вычислений при решении задач программирования и управления. [34]
По сравнению с численными методами, основанными на использовании цифровых ЭВМ, и аналоговыми методами, основанными на использовании АВМ, методы прямой аналогии являются наименее точными и наименее универсальными. Однако если скорость решения не играет существенной роли, а погрешность решения в 2 - 5 % оказывается допустимой, то этот метод является весьма эффективным для решения многих задач теории поля, поскольку здесь решение относительно сложных дифференциальных уравнений сводится к сравнительно несложному физическому эксперименту. [35]
Краевые задачи решаются при наличии конкретных граничных условий. Например, для задач теории поля, описываемых уравнением Лапласа, имеют место граничные условия трех видов. [36]
Все это существенно осложняется тем, что граничные условия обычно представляют собой не одиночные скачки, а системы последовательных скачков или произвольные функции времени. Последние обусловливают операцию суперпозиции решений и применения интеграла Дюамеля. Если к этому добавить, что мы решаем задачу теории поля при наличии сосредоточенных и непрерывно распределенных стоков и источников с переменной во времени интенсивностью, то становится совершенно ясным, что существующие аналитические методы решения задач, связанных с нестационарными процессами движения сплошных сред в трубах, представляют собой малоэффективное средство с точки зрения проведения инженерных расчетов. [37]
Главы 2 и 3 посвящены изложению основных сведений по дифференциальной геометрии, в главе 5 излагается корневая структура конечномерных алгебр Ли и теория диаграмм Дынкина для полупростых алгебр Ли. В остальные главах обсуждаются применения этого математического аппарата в ряде задач теории поля и гравитации. В главе 4 излагается геометрический подход к описанию калибровочных теорий. В главах 6 и 7 обсуждаются приложения такого подхода к решению задач размерной редукции калибровочных полей и спонтанной компактификации. Выбор этих приложений достаточно субъективен: авторы работали над этими проблемами в течение ряда лет. В то же время эти приложения, во-первых, позволяют продемонстрировать многочисленные преимущества и мощь геометрического подхода, а во-вторых, они, как и сама идея Калуцы и Клейна, сохраняют свою актуальность при построении моделей фундаментальных взаимодействий. [38]
Содержание и результаты этих работ убедительно демонстрируют значение, которое следует придавать методам решения задач математической физики в целом и движения сплошных сред в частности. Если при этом учесть ограниченность возможностей современного математического аппарата при анализе моделей движения сплошных сред, то вопрос о разработке методов и реализующих их средств для решения задач теории поля приобретает первостепенное значение. В этом плане изложенное ниже следует рассматривать как попытку обобщить и в какой-то степени продолжить результаты работ и тем самым расширить прикладные аспекты теории движения сплошных сред в трубах. [39]
Наиболее эффективными методами решения задач теплопроводности с развитием цифровой и аналоговой вычислительной техники становятся численные методы, с помощью которых для заданных численных значений аргументов получаются численные значения искомой функции. К ним относятся метод конечных разностей, метод прямых, метод конечных элементов. Последний, являясь одним из перспективных методов, завоевывает все большее признание, однако широкого распространения пока еще не получил, хотя работа по внедрению его в практику решения задач теории поля в настоящее время ведется довольно интенсивно. В данной работе уделим основное внимание лишь методу конечных разностей и методу прямых. [40]
Изложенное ( кратко) положение обусловило необходимость разработки и внедрения в практику проектирования и эксплуатации трубопроводных систем таких методов и реализующих их средств вычислительной техники, которые давали бы точное или по крайней мере приближенное ( с необходимой для инженерной практики точностью) решение анализируемой системы уравнений, исключающее указанные недостатки методов приближенного аналитического решения. В соответствии с этим ниже предлагаются построенные нами некоторые точные аналитические решения, автомодельные задачи и методы строгого и приближенного решения рассматриваемого класса уравнений. Последние явились той научной основой, которая позволила реализовать методы гибридного и квазианалогового математического моделирования и создать специализированные средства вычислительной техники. В результате были получены возможности для решения интересующего инженерную практику круга задач теории поля, возникающих в процессе проектирования и эксплуатации газопроводных систем. [41]
Структурные модели предназначены для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому при исследовании процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, требуются специальные приемы для перехода от вторых к первым. В работах [39, 41 ] подробно рассматривается возможность решения уравнений с частными производными на структурных моделях. И хотя эти модели обладают определенными достоинствами по сравнению с пассивными моделями, они оказываются неконкурентноспособными при решении задач теории поля. [42]
Если токи в проводах направлены одинаково ( рис. 3 - 24, а), наибольшая плотность тока наблюдается в наиболее удаленных друг от друга частях сечений; при различных направлениях токов ( рис. 3 - 24, б) наибольшая плотность тока получается в наиболее близких друг к другу частях сечений проводов. Области наибольших плотностей тока отмечены на рис. 3 - 24 толстыми линиями. Вызываемая эффектом близости неравномерность распределения тока по сечению проводов приводит к увеличению потерь энергии, к увеличению разницы в сопротивлениях проводов переменному и постоянному токам. Расчеты распределения тока по сечению проводника с учетом поверхностного эффекта или эффекта близости и сопротивления проводника относятся к задачам теории поля. [43]
Специфика и общность указанного комплекса процессов и задач энергомассообмена состоит в следующем. Для значительного кол-ичества интересующего инженерную практику задач энергомассообмена характерна относительно высокая погрешность исходной информации, величина которой в несколько раз превосходит погрешность счета современных прецизионных аналоговых ( квазианалоговых) машин. В общем случае процессы энергомассообмена протекают в многомерном пространстве при наличии попутных ( распределенных или сосредоточенных) стоков и источников ( массы или энергии) и относятся к нелинейным задачам теории поля в многосвязной области. Применение обобщенных функций Хависайда и Дирака с целью внесения в математическую модель задач нестационарного энергомассообмена эффектов, обусловленных наличием попутных стоков и источников ( трактуя это как своеобразный переход от задачи теории поля в многосвязной области к задаче теории поля в односвязной), не вносит ничего радикального и конструктивного в методику решения рассматриваемого класса задач. [44]
Специфика и общность указанного комплекса процессов и задач энергомассообмена состоит в следующем. Для значительного кол-ичества интересующего инженерную практику задач энергомассообмена характерна относительно высокая погрешность исходной информации, величина которой в несколько раз превосходит погрешность счета современных прецизионных аналоговых ( квазианалоговых) машин. В общем случае процессы энергомассообмена протекают в многомерном пространстве при наличии попутных ( распределенных или сосредоточенных) стоков и источников ( массы или энергии) и относятся к нелинейным задачам теории поля в многосвязной области. Применение обобщенных функций Хависайда и Дирака с целью внесения в математическую модель задач нестационарного энергомассообмена эффектов, обусловленных наличием попутных стоков и источников ( трактуя это как своеобразный переход от задачи теории поля в многосвязной области к задаче теории поля в односвязной), не вносит ничего радикального и конструктивного в методику решения рассматриваемого класса задач. [45]