Cтраница 3
Аналитическое решение подобных задач возможно лишь в простейших частных случаях. Так, в задачах двухфазной фильтрации методом характеристик получено аналитическое решение только для уравнения Баклея-Леверетта, описывающее одномерное прямолинейное или плоско-радиальное течение в однородном пласте при заданной скорости фильтрации. При усложнении задачи она уже не имеет аналитических решений. Например, учет капиллярных сил приводит к так называемому уравнению Раппопорта-Лиса, для которого известны лишь отдельные автомодельные решения. [31]
Таким образом, решение задачи распадается на каждом временном шаге на две процедуры: 1) определение оптимальных режимов скважин; 2) определение эволюции поля насыщенностей при известных оптимальных режимах. Эффективная реализация обеих процедур связана со значительным объемом вычислений и может быть реализована при наличии эффективных методов решения задач двухфазной фильтрации. [32]
Таким образом, решение задачи распадается на каждом временном шаге на две процедуры: I) определение оптимальных режимов скважин, 2) определение эволюции поля насыщенностей при известных оптимальных режимах. Эффективная реализация обеих процедур ( и особенно второй) связана оозначительным объемом вычислений и может быть реализована при наличии эффективных методов решения задач двухфазной фильтрации и достаточно мощных вычислительных машин. [33]
ГВК hB ( r, t) связана со средней насыщенностью в вертикальном сечении простым соотношением. Именно эти соображения наряду с предположением постоянства остаточной газонасыщенности в обводненной зоне позволили в работе [44] сформулировать аналогичную рассматриваемой здесь задачу как задачу двухфазной фильтрации газа и воды с псевдофункциями относительных проницае-мостей и капиллярного давления. [34]
ГВК hs ( r, t) связана со средней насыщенностью в вертикальном сечении простым соотношением. Именно эти соображения наряду с предположением постоянства остаточной газонасыщенности в обводненной зоне позволили в работе [44] сформулировать аналогичную рассматриваемой здесь задачу как задачу двухфазной фильтрации газа и воды с псевдофункциями относительных проницае-мостей и капиллярного давления. [35]
На месторождении выделялось два эксплуатационных подобъекта, каждый из которых подразделялся еще на несколько пропластков. Рассматривалась задача двухфазной фильтрации в псевдотрехмерной постановке с моделью участка залежи размером 10 х 10 км, состоящего из трех гидродинамически взаимодействующих пропластков с симметричным пятиточечным размещением скважин. [36]
При решении отдельных задач, характеризующихся очень высокими скоростями течения ( например, некоторые задачи конусо-образования), могут стать существенными ограничения, накладываемые на шаги разностной сетки вследствие явной аппроксимации проводимости фаз. В ряде работ были предложены полностью неявные алгоритмы расчета течений. Для задач двухфазной фильтрации несжимаемых жидкостей может быть использована следующая достаточно общая схема построения полностью неявных схем. [37]
Если поле сопротивлений имеет регулярную анизотропию, мжно применять методы одномерной коррекции, при этом уменьшается время счета до 1 - 2 с. Общее время расчета одного шага задачи двухфазной фильтрации с учетом капиллярности и гравитации при меньшей неоднородности области составляет для 2000 узловых точек - 35 - 40 с. При сокращении размеров области до 400 узловых точек также не требуются магнитные барабаны и поэтому время решения: уменьшается до 5 с на шаг. [38]
Наконец, учитывая условия устойчивости переднего и заднего фронтов оторочки, легко убедиться, что прямая М М - должна быть касательной к кривой F ( s, c), чем положение этой прямой и всех элементов решения определяется однозначно. Построенное инвариантное решение типа равномерно распространяющейся волны с точки зрения задачи в целом представляет собой внутреннюю асимптотику решения, отвечающую малости объема оторочки или - что эквивалентно - большим временам наблюдения. Внешним решением задачи при этом, как легко видеть, будет решение задачи двухфазной фильтрации в отсутствие активной примеси ( с 0) с дополнительным скачком насыщенности, обусловленным наличием тонкой оторочки. Положение этого скачка определяется величинами s и s -, определяемыми из внутреннего решения. На ( s, / - диаграмме ему соответствует путь ABODE. Полученный результат заслуживает особого комментария. Дело в том, что автомодельное решение задачи вытеснения нефти водой, соответствующее пути ABODE, существует и в отсутствие активной примеси; однако оно неустойчиво. Таким образом, роль тонкой оторочки активной примеси формально сводится к стабилизации неустойчивого решения, отвечающего рис. 59, г. При этом, очевидно, ширина оторочки имеет второстепенное значение, а главную роль играет та максимальная степень снижения подвижности воды, которая достигается в оторочке. Если активная примесь полезная, то F c О, и последнее утверждение означает, что целесообразно использовать максимальные значения концентрации примеси в оторочке. [39]
Наконец, учитывая условия устойчивости переднего и заднего фронтов оторочки, легко убедиться, что прямая М М - должна быть касательной к кривой F ( s, c), чем положение этой прямой и всех элементов решения определяется однозначно. Построенное инвариантное решение типа равномерно распространяющейся волны с точки зрения задачи в целом представляет собой внутреннюю асимптотику решения, отвечающую малости объема оторочки или - что эквивалентно - большим временам наблюдения. Внешним решением задачи при этом, как легко видеть, будет решение задачи двухфазной фильтрации в отсутствие активной примеси ( с 0) с дополнительным скачком насыщенности, обусловленным наличием тонкой оторочки. Положение этого скачка определяется величинами s и s -, определяемыми из внутреннего решения. На ( s, / - - диаграмме ему соответствует путь ABGDE. Полученный результат заслуживает особого комментария. Дело, в том, что автомодельное решение задачи вытеснения нефти водой, соответствующее пути ABGDE, существует и в отсутствие активной примеси; однако оно неустойчиво. Таким образом, роль тонкой оторочки активной примеси формально сводится к стабилизации неустойчивого решения, отвечающего рис. 59, г. При этом, очевидно, ширина оторочки имеет второстепенное значение, а главную роль играет та максимальная степень снижения подвижности воды, которая достигается в оторочке. Если активная примесь полезная, то Fc О, и последнее утверждение означает, что целесообразно использовать максимальные значения концентрации примеси в оторочке. [40]
Для решения дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации газа используется метод сеток. Система нелинейных алгебраических уравнений, получаемая в результате разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения, решается итерационным SIP-методом [2,32], который представляет собой вариант метода неполной факторизации и характеризуется значительной эффективностью при решении краевых задач теории фильтрации с резко меняющимися коэффициентами. Кроме того, этот метод достаточно просто алгоритмизируется и обобщается на случай решения задач трехмерной двухфазной фильтрации и однофазной неизотермической фильтрации. [41]
В свою очередь, это означает, что локально каждый элемент среды находится в состоянии термодинамического равновесия. Такое допущение справедливо, пока рассматриваются процессы существенно более длительные, нежели процесс установления термодинамического равновесия в физически бесконечно малом объеме пористой среды. Однако в некоторых существенных для приложений случаях строение реальных объектов таково, что элементарный объем достаточно велик, а процесы установления термодинамического равновесия в нем настолько замедленны, что их длительность оказывается сопоставимой со временем переходного процесса в пласте в целом. Тогда эти неравновесные процессы подлежат учету и их влияние может оказаться определяющим. Именно так обстоит дело в некоторых задачах двухфазной фильтрации ( см. гл. В этом параграфе рассматриваются неравновесные процессы, происходящие при неустановившемся движении однородной, ньютоновской жидкости в трещиновато-пористых и слоистых пластах. [42]
Для связанных уравнений выбор аппроксимации по времени имеет решающее значение. Поскольку уравнение ( 5.1 а) параболическое, то представляются естественными попытки использования методов, изложенных в гл. Однако при решении систем нелинейных связанных уравнений данного типа по этим методам редко получают положительный результат. Как указывал Писман ( 1967), явный метод, как и неявный метод переменных направлений Писмана - Рэчфорда ( ADI-метод), для задач данного типа неустойчив. Более надежен метод с аппроксимацией уравнений обратной разностью. Дуглас ( 1960) показал, что по этому методу получают устойчивые решения задач двухфазной фильтрации. Данный метод наиболее часто используется при моделировании нефтяных пластов. [43]
Второй подход базируется на решении двухфазных задач. При такой постановке предполагается, что в каждой точке пласта находятся две фазы - газ и вода. При реЩении системы дифференциальных уравнений двухфазной фильтрации при соответствующих условиях определяют значения коэффициента водонасыщенности ( газонасыщенности) и давления в каждой точке пласта. В зависимости от коэффициента водонасыщенности фазовая проницаемость для газа ( или воды) может равняться нулю. Тогда в данной точке пласта газ неподвижен. В противном случае он подвижен. Следовательно, закономерности движения размазанной границы раздела газ - вода устанавливаются по динамике полей водонасыщенности пласта. Такой подход не встречает принципиальных трудностей при исследовании двухмерных задач теории водонапорного режима, о чем пойдет речь в данной главе. Из дальнейшего изложения будет видно, как осуществляется обобщение соответствующих постановки и алгоритма решения задач двухфазной фильтрации на трехмерный случай. [44]