Cтраница 2
Таким образом, только в Евклидовом пространстве может быть речь об однозначном параллельном перенесении вектора из одной точки в любую другую точку. [16]
Если а -, то получается уравнение геодезических; таким образом, геодезические можно определить как кривые, вдоль к-рых касательный к пим вектор переносится параллельно, что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения вектора из точки А в точку В зависит, как правило, от кривой АВ, вдоль к-рой происходит перенесение - в этом отсутствии абсолютного параллелизма наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова. [17]
Эта теорема интересна не только своим изяществом; она впервые дала чисто геометрическую интерпретацию римановой кривизны. При параллельном перенесении вектора длина его не изменяется; при параллельном перенесении двух векторов не меняется угол между ними. [18]
Дадим произвольно величины % - соы; мы этим определим по формулам ( с) параллельное перенесение векторов. [19]
Но главной в этом направлении была другая историч. Его открытие неевклидовой геометрии явилось началом обобщений понятия пространства цменно в том направлении, к-рое наиболее важно для естествознания. Риману; в его известной лекции О гипотезах, лежащих в основании геометрии ( 1854) даны основы теории пространств, наз. В свою очередь, появление общей теории относительности ( 1915) явилось стимулом бурного развития тензорного анализа, теории рвмановых пространств и одним из источников дальнейших обобщений понятия риманова пространства. Леви-Чивита и в 1918 независимо от него Я. Схоутен определили параллельное перенесение вектора в римановом пространстве; в 1918 Я. Картан построил геометрию пространств со связностью произвольной группы. [20]
Итак, с точки зрения Леви-Чивита, христофели Glld представляют собой компоненты параллельного перенесения. Следующий шаг в ходе развития этих идей заключался в том, что параллельное перенесение было выдвинуто в качестве основного исходного момента в построении Римановой геометрии. Замысел Вей - ля1, которому эта постановка принадлежит, сводится к следующему. Значительная часть Римановой геометрии зависит только от христофелей, а не непосредственно от гауссов. Так, риманы выражаются непосредственно через христофели, а не через гауссы; вследствие этого, учение о римановой кривизне может быть построено непосредственно в христофелях, то есть в компонентах параллельного перенесения. Учение о геодезических линиях также зависит только от христо-фелей. А главное, только от христофелей зависит дифференциальное исчисление Риччи и Леви-Чивита в заданном Римановом пространстве. А если так, то нельзя ли непосредственно начинать с компонент параллельного перенесения, то есть нельзя ли определить параллельное перенесение вектора экстенсивом третьего порядка Гъш выбрав последний произвольно, то есть, не выводя его из гауссов по схеме Христофеля. [21]