Cтраница 2
Если мы хотим определить неподвижную точку при d 3, то мы уже не можем рассматривать и как малый параметр, и задача вычисления интеграла (7.3) становится весьма сложной. [16]
Таким образом, знание одной какой-либо примитивной непрерывной функции f ( х) в отрезке ( а, Ь) позволяет нам непосредственно написать ее интеграл в этом отрезке. Задача вычисления интегралов, имеющая так много разнообразных приложений, целиком сводится, таким образом, к задаче отыскания примитивных функций, получающей ввиду этого важнейшее значение для математического анализа и его приложений. [17]
Свести эту задачу к задаче вычисления интегралов, вообще говоря, не удается. [18]
Следующий алгоритм вычисления многомерных интегралов имеет другую структуру. Среди известных алгоритмов интегрирования с автоматическим выбором узлов интегрирования этот алгоритм является наиболее эффективным по отношению к задаче вычисления интегралов от функций с особенностями функции или ее производных в изолированных точках. [19]
Далее будут рассмотрены более простые по виду способы вычисления интегралов от функций с особенностями. Описанный выше способ аппроксимации интеграла по значениям функции на фиксированной, в частности, равномерной сетке обладает определенными преимуществами в случае, когда задача вычисления интеграла представляет часть более сложной задачи, например при решении интегральных уравнений путем сведения к решению системы линейных алгебраических уравнений. Иногда необходимая точность уже достигается при замене функции д ( х) на отрезках разбиения на постоянную. [20]
До самого последнего времени использование АО ССП для такой цели было невозможно, поскольку такие АО в аналитическом виде не были доступны; однако сейчас имеются хорошие приближения к АО ССП типа ОСЦ ( см. разд. Пока еще таких работ мало, отчасти потому, что АО ССП в аналитической форме стали доступными лишь совсем недавно, отчасти же потому, что одно только использование таких АО не решает задачи вычисления интегралов полностью. Наша цель состоит в том, чтобы получить лучшие результаты, чем даже в методе Хартри - Фока, а на это не приходится надеяться, если мы используем те же самые значения основных параметров. [21]
Выбрать квадратурную формулу для решения уравнений Вольтерры не просто, для этого в литературе нет завершенных, готовых для практики рекомендаций. Причина этого состоит в недостаточной изученности вычисления интеграла с переменными границами. При решении интегральных уравнений не-обхолимо вычислять интегралы с весом, равным ядру. Кроме того, подынтегральная функция как искомое решение не считается известной. В обычной же задаче вычисления интеграла подынтегральная функция известна. Поэтому выбор квадратурной формулы при решении уравнений должен быть согласован как со свойствами ядра, так и с характером искомого решения, что и порождает множество подходов и способов применения метода квадратур. [22]
Итак, формулы Гаусса могли бы быть положены в основу универсальных программ вычисления интегралов от функций. Некоторое практическое неудобство представляет следующее обстоятельство. Мы не можем обычно заранее сказать, с каким числом узлов потребуются квадратуры Гаусса при вычислении интегралов с заданной точностью. Поэтому потребуется вводить в машину или переписывать с запоминающих устройств в оперативную память узлы и веса этих квадратур, соответствующие все большим значениям п, что несколько затормозит вычисление интегралов, особенно на малых машинах. Следует также отметить, что во многих случаях возникает задача вычисления интегралов, где подынтегральная функция или ее производные невысокого порядка имеют участки резкого изменения, например обращаются в бесконечность. Такие функции плохо приближаются многочленами сразу на всем отрезке интегрирования. Здесь часто оказывается более выгодным разбить исходный отрезок - на части и там применять формулы Гаусса или какие-либо иные формулы. [23]