Cтраница 2
Множество, задаваемое системой неравенств, состоит из точек, лежащих под прямой у - - х и одновременно над прямой у 2х - 2 ( рис. 84), т.е. множество решений каждого из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Множество, определяемое системой этих неравенств, есть пересечение полуплоскостей. [16]
Самым естественным подходом к решению любой трехмерной задачи является попытка обобщения наиболее известного метода решения соответствующей двумерной задачи. В нашем случае двумерным аналогом является задача о пересечении полуплоскостей, решенная в разд. Соответственно в случае трех измерений шагом слияния становится пересечение двух выпуклых полиэдров, которое изучалось в предыдущем разделе. Противопоставление этого результата нижней оценке Q ( yVlogA /), полученной в разд. [17]
Каждое из неравенств этой системы определяет в координатной плоскости некоторую полуплоскость. Если какие-либо числа х к у удовлетворяют всем неравенствам системы, то точка ( х, у) принадлежит пересечению указанных полуплоскостей. Граница этого пересечения может состоять из отрезков, полупрямых и целых прямых. [18]
Множество точек, более близких к pit чем к любой другой точке, которое будем обозначать V ( i), получается в результате пересечения N-1 полуплоскостей. Это множество является выпуклой многоугольной областью ( см. разд. [19]
Назовем опорной прямой совокупности контуров всякую прямую, касательную к одному или нескольким контурам и расположенную таким образом, что все контуры находятся в одной из двух полуплоскостей. Выпуклой оболочкой совокупности контуров является пересечение одноименных полуплоскостей, образованных множеством опорных прямых совокупности. [20]
Поэтому искомым ГМТ является пересечение полуплоскостей ( без границ), заданных прямыми li lz и не содержащих точку А. Если точки А, В, С не лежат на одной прямой, то это ГМТ всегда непусто. Если А, В, С лежат на одной прямой, но А не лежит на отрезке ВС, то это ГМТ тоже непусто. [21]
IV, § 6, вывод), что геометрическое место точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют системе линейных неравенств, образует выпуклый многоугольник. Этот многоугольник называется многоугольником решений данной системы неравенств. Стороны этого многоугольника располагаются на прямых, уравнения которых получаются, если в неравенствах системы знаки неравенств заменить на точные равенства. А сам этот многоугольник есть пересечение полуплоскостей, на которые делит плоскость каждая из указанных прямых. [22]