Cтраница 3
Замечание: в строго линейных задачах граница R не вращается плавно. Это осуществляют пересечениями гиперплоскостей. [31]
Представим V как пересечение гиперплоскостей; по индукции можно предполагать, что V - гиперплоскость. Тогда либо Vi D Уг, либо У-Уг J ] m [ Z ], после чего неравенство становится очевидным. [32]
Решение ( хЪ, 0) этой системы называется базисным решением. Оно представляет собой точку пересечения линейно независимых гиперплоскостей. [33]
Другой подход к вычислению кратности - алгебро-геометричес-кий. Точка в образе представляется как пересечение гиперплоскостей или подмногообразий, после чего число ее прообразов находится как индекс пересечения прообразов этих гиперплоскостей или подмногообразий. Оба результата, упомянутых выше, могут быть получены и с использованием этого подхода. Для случая мероморфных функций с простыми критическими значениями ( но произвольными полюсами) на поверхностях произвольного рода описанный подход позволяет выразить кратность отображения ЛЛ через интегралы от классов Черна некоторых расслоений по пространству модулей комплексных структур на поверхности. Такой подход ведет к лучшему пониманию геометрии дискриминанта. [34]
Оставив в системе ( 9) лишь г т линейно независимых уравнений ( линейно - аффинных функций /), мы на любую плоскость П размерности п - г можем смотреть как на пересечение г гиперплоскостей. В случае несовместной системы линейных уравнений пересечение гиперплоскостей пусто. [35]
Одним из основных моментов является исследование системы линейных алгебраических уравнений на совместность. Именно с этим моментом связан ответ на вопрос, является ли пересечение гиперплоскостей пустым множеством или не пустым. Конечно, для выполнения данного исследования можно воспользоваться методом Гаусса. [36]
Соответствующее направление спуска найдем проектированием антиградиента функции F ( x) на пересечение гиперплоскостей всех ограничений, обращающихся в xft в равенства, кроме одного, для которого А 3 - 0, причем в силу интерпретации Xj, данной в начале предыдущего раздела, логично отбросить ограничение с минимальным Kj. [37]
Все очень просто, но, к сожалению, только на бумаге. В действительности, как правило, удается найти лишь приближение минимума на пересечении гиперплоскостей активных ограничений. Соответствующие оценки нулевых множителей Лагранжа могут оказаться малыми числами любого знака. [38]
Основным неудобством данной процедуры яйляется многократный расчет матрицы проектирования, ранг которой повышается на один с каждым шагом. Более простой в вычислительном плане является процедура нахождения очередного приближения к экстремуму на множестве пересечений касательных гиперплоскостей, приводимая ниже. Она реализована в АЛГОЛ-програм-ме метода. [39]
Ограничения, на гиперплоскости которых проектируется антиградиент функции F (), называют активными, а их совокупность - активным набором. В представленной выше схеме состав активного набора сокращается только тогда, когда найдена стационарная точка на пересечении гиперплоскостей активных ограничений. По этой схеме перебираются одна за другой стационарные точки, никогда не повторяясь, так как / ( х) монотонно убывает от шага к шагу. Следовательно, если число стационарных точек граней допустимого множества конечно, то, перебрав несколько из них, процесс вычислений остановится. [40]
Матрица Р А ( АГА) - Аг проектирует на пространство, натянутое на столбцы матрицы А. Соответственно Р I - Р есть проектор на пространство, ортогональное этим столбцам и параллельное многообразию, заданному пересечением гиперплоскостей активных ограничений. [41]
Не ограничивая общности, будем считать, что начало координат О принадлежит гиперсфере. Пересечение гиперплоскости а и тела Т обозначим через Та, а его проекцию на гиперплоскость z 0 обозначим через f а. Построим эллипсоид Е наименьшего объема с центром в точке О, содержащий тело Т а. Выполним теперь эквиаффинное преобразование гиперплоскости z О, чтобы построенный эллипсоид перешел в шар. [42]
Эффективным методом получения оценки состояния сложных систем является метод математического. Он базируется на варьироЩний режима и получении некоторых характеристических величин состояния системы в целом. Вследствие варьирования возникают линейно-зависимые условия баланса расходов в узловых точках, которые исключаются при помощи теории бихроматических графов. Критерием исключения принимают угол пересечения гиперплоскостей рассматриваемых уравнений. [43]
Принадлежащие ей точки имеют неотрицательные уклонения от этой гиперплоскости. Пересечение таких полупространств и образует выпуклую допустимую область О. Область О ( или Н) может быть пустой, замкнутым многограннником или замкнутым неограниченным многогранным множеством. Вершины многогранников или замкнутых многогранных множеств являются точками пересечения определенных гиперплоскостей. [44]
Гиперповерхность, ограничивающая многогранник, называется многогранной гиперповерхностью. Гладкими точками выпуклой многогранной гиперповерхности являются внутренние точки граней и только они. Точки строгой выпуклости многогранника называются вершинами. Вершины многогранника являются коническими точками. Каждая вершина многогранника является точкой пересечения гиперплоскостей, ограничивающих многогранник. [45]