Cтраница 3
Замечая, что производная по г с точностью до знака совпадает с производной по направлению нормали к поверхности шара, видим, что мы имеем дело с внешней задачей Неймана для уравнения Гельмгольца. [31]
Таким образом, вместо одной внешней задачи Неймана для определения потенциала ф, в формулировку которой ( в условие на поверхности тела) входило время t, мы получили шесть внешних задач Неймана для определения шести потенциалов ф, в формулировку каждой из которых время уже не входит. [32]
Доказательство этих утверждений подобно доказательствам теорем 2, 3 и 4 § 28.3; при этом используется теорема § 31.1. Некоторое отличие возникает в связи с появлением необходимого условия разрешимости ( 7) внешней задачи Неймана. [33]
Для внешней трехмерной задачи Неймана условие ( 38) опущено, но, как и для внешней задачи Дирихле, на решение налагается условие стремления к нулю на бесконечности. Однако для двумерной внешней задачи Неймана необходимое условие ( 38) также должно быть выполнено наряду с условием существования конечного предела на бесконечности. [34]
Таким образом, на плоскости граничное условие внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа должно удовлетворять тому же интегральному соотношению, что и условие внутренней задачи. [35]
Тогда феС ( 5) и внешняя задача Дирихле для уравнения Гельмгольца в V - с условием ы - ф на S и условием излучения на бесконечности однозначно разрешима. Тогда i ] 3sC ( S) и внешняя задача Неймана для уравнения Гельмгольца с условием du - / dN ty на S и условием излучения также однозначно разрешима. [36]
Пользуясь формулой ( 106), можно доказать единственность решения внешней задачи Неймана при условии правильно сти нормальной производной [ ср. [37]
Дирихле имеет решение в виде потенциала двойного слоя. Совершенно аналогично, если k2 не есть собственное значение внутренней задачи Дирихле, внешняя задача Неймана имеет решение в виде потенциала простого слоя. [38]
Однако интегральное уравнение вида ( 13) для внешней задачи Дирихле будет иметь решение при произвольной ( р ( х) лишь в том случае, если при данном л внутренняя задача Неймана при ( р ( х) 0 имеет только тривиальное решение, что имеет место не всегда. Аналогично обстоит дело и с разрешимостью интегрального уравнения вида ( 11) для внешней задачи Неймана. Оно разрешимо при любой ( р ( х) лишь в том случае, если внутренняя задача Дирихле при р ( х) 0 и данном л имеет только тривиальное решение. [39]
Дирихле имеет решение в виде потенциала двойного слоя. Совершенно аналогично, если k не есть собственное значение внутренней задачи Дирихле, то внешняя задача Неймана имеет решение в виде потенциала простого слоя. [40]
Многие задачи механики жидкости сводятся в этом приближении к классич. Так, задача о движении тела в неограниченной покоящейся в бесконечности жидкости сводится к решению внешней задачи Неймана. Однако это решение лишь в очень немногих случаях позволяет приблизиться к описанию полей скорости и давления в реальной жидкости. Одним из таких важных случаев является плоское движение хорошо обтекаемого профиля с постоянной циркуляцией скорости вокруг него. [41]
Уравнение ( 132) при X 1 и р ( Л / g) т - / ( Л / о) соответствует внутренней задаче Дирихле, а при Х - 1 и о ( Л / о) - - o - / 04)) - внешней задаче Дирихле. Уравнение ( 133) при Х 1 и со ( Л / о) - - o - f ( o) соответствует внешней задаче Неймана, и при Х - 1 и р ( Л / 0) - к - / ( W0) - внутренней задаче Неймана. [42]
Это обязательно должна быть непрерывная функция, и определяемый ею потенциал простого слоя V ( p) V ( p, г з0) будет иметь правильную нормальную производную извне S, равную нулю. Но ввиду единственности внешней задачи Неймана получаем, что тогда сам потенциал тождественно равен нулю. [43]
Уравнению ( 133) при Х1 соответствует внешняя задача Неймана. В данном случае она состоит в нахождении функции, гармонической внутри каждой из поверхностей 5ft и вне S0, причем заданы значения ее нормальной производной на этих поверхностях. На бесконечности, как всегда, функция должна быть регулярной. [44]