Cтраница 2
Читатели, интересующиеся ими, могут обратиться к статье монографического характера Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина [ 27, в которой освещены все встретившиеся приложения обратных краевых задач. [16]
Дан контур, определяемый краевыми значениями искомой функции, число и характер особенностей, число точек ветвления. На пути решения стоят следующие трудности: 1) определение числа и характера задаваемых особенностей ( и соответственно числа точек ветвления), допустимых при заданных краевых значениях; 2) допустимое расположение особенностей и точек ветвления, при которых заданный контур Iw может стать контуром области, подобной однолистной; 3) число существенно различных областей, возникающих при различных способах скрепления листов. Последнее связано с числом решений обратной краевой задачи. [17]
При этом на искомом контуре краевых условий задается на единицу больше, чем их требуется для решения обычной краевой задачи. Дополнительное краевое условие служит для отыскания контура области. Известные в настоящее время приложения обратных краевых задач аналитических функций относятся в основном к гидромеханике. В монографии Г.Г. Тумашева и М.Т. Нужина [4] изложены все встретившиеся приложения обратных краевых задач и приведена обширная библиография. [18]
О а 1) последнее тождество не может выполняться. Аналогично можно доказать существенное отличие от двух рассмотренных третьего решения. Таким образом, в рассмотренном примере внешняя обратная краевая задача имеет три существенно различных решения. Следовательно, решение этой задачи может оказаться не единственным. [19]
Это вносит существенные осложнения в исследования. Для указанной частной задачи все трудности удается преодолеть и получить полное решение. Дальнейшее усложнение постановки ( допущение в потоке или на искомом контуре источников или вихрей) приводит к самой общей постановке обратной краевой задачи. [20]
Наложенное в постановке задачи требование конформности отображения области Dz на Dw исключает нули производной отображающей функции, и следовательно, исключает точки ветвления. Но оно не влечет за собою однолистности отображения. По условию, контур Ьт простой и область DIO однолистная, но функция z ( w), получаемая в результате решения обратной краевой задачи, может оказаться неоднолистной; в последнем случае контур Lz будет не простым, а самопересекающимся. [21]
При этом на искомом контуре краевых условий задается на единицу больше, чем их требуется для решения обычной краевой задачи. Дополнительное краевое условие служит для отыскания контура области. Известные в настоящее время приложения обратных краевых задач аналитических функций относятся в основном к гидромеханике. В монографии Г.Г. Тумашева и М.Т. Нужина [4] изложены все встретившиеся приложения обратных краевых задач и приведена обширная библиография. [22]
В настоящем издании книга несколько дополнена. Из бывшей главы VII параграфы 48 - 50 перенесены в главу VI и написаны два новых параграфа ( 52, 53) о новых типах интегральных уравнений, разрешаемых в замкнутой форме. В главах IV и V добавлено два новых параграфа ( 33 и 36) об обратных краевых задачах. Кроме того, написан ряд небольших дополнений с изложением результатов работ, вышедших из печати в промежуток между первым и вторым изданиями. Большая часть их дана обзорно без подробных доказательств. [23]
Ряд исследований был посвящен так называемой обратной задаче о построении профиля по заданному теоретическому распределению скоростей на его поверхности. Исходные предпосылки для решения обратной задачи были сформулированы немецким ученым В. При решении обратной задачи используется связь между плоскостью годографа скорости и физической плоскостью течения. Трудности широкого практического применения обратной задачи связаны с тем, что произвольно заданному распределению скоростей не всегда соответствует контур, имеющий реальный смысл. Необходимо, во-первых, выполнить условие замкнутости контура и, во-вторых, избежать такого распределения скоростей, при котором получается самопересекающийся контур. В работе Л. А. Симонова ( 1947) приводится решение обратной задачи для профиля, близкого к данному. Формулы, приведенные в этой работе, могут быть использованы не только для решения обратной, но и для решения прямой задачи. В работе В. М. Шурыгина ( 1948) при произвольном предварительном задании распределения давления на поверхности искомого профиля предлагается приближенный прием коррекции этого распределения с целью устранения упомянутого выше самопересечения. Первые публикации Тумашева по данному вопросу относятся к 1946 г.) Наряду с общей математической постановкой ряда обратных краевых задач в этой работе обсуждаются вопросы корректности и единственности их решения, формулируются условия, которые нужно наложить на заданное распределение скоростей для получения замкнутого контура, сопоставляются способы задания распределения скоростей по дуге искомого контура и по хордовой координате. [24]