Cтраница 3
Краевые задачи, в которых правая часть уравнения не равна нулю, будем называть неоднородными краевыми задачами. Рассмотрению этих задач посвящен § 2 настоящей главы. [31]
Употребляя те же, что и и предыдущем, обозначения, при помощи аналогичных рассуждений получим для неоднородной краевой задачи Гильберта в верхней полуплоскости следующее решение. [32]
Приведенный ниже пример показывает, что условие теоремы является существенным, и можно указать случаи, когда оно не выполняется, и тогда неоднородная краевая задача имеет одно -, а возможно, и двупараметрическое семейство решений. Может оказаться, что задача вообще не имеет решения. [33]
На основании общих свойств линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений из соотношений (4.20) следует, что однородная краевая задача имеет только единственное решение и, следовательно, неоднородная краевая задача всегда разрешима. [34]
Далее предполагается, что W1 ( X) 5 0; в противном случае однородная краевая задача у - р ( х) у О, у ( 0) у ( Х) 0 имеет ненулевое решение Wl ( x), а следовательно, неоднородная краевая задача (1.1), (1.2) или не имеет решения, или имеет неединственное решение. [35]
Далее предполагается, что Wi ( X) / f 0; в противном случае однородная краевая задача у - р ( х) у 0, у ( 0) у ( Х) 0 имеет ненулевое решение W ( x) а, следовательно, неоднородная краевая задача (1.1) - (1.2) или не имеет решения, или имеет неединственное решение. [36]
Так как L - линейный ограниченный оператор, то последовательность Lu, сходится к Lu, а последовательность () сходится в пространстве W, к некоторой фуикцяи х ( -), не зависящей от выбора аппроксимирующей последовательности un ( -) - Этот предел () по определению называется обобщенным решением рассматриваемой неоднородной краевой задачи. [37]
Дано доказательство теоремы существования решения неоднородной краевой задачи. Более подробно разбирается понятие обобщенной функции Грина. Внесены некоторые изменения и в характер изложения задач на собственные значения. [38]
Однородная задача для приближенного решения имеет только тривиальное решение. В силу нормальной разрешимости краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений неоднородная краевая задача для приближенного решения однозначно разрешима. [39]
Если из однородных граничных условий вытекает неравенство (5.32.9), которое будет называться условием единственности, то решение неоднородной краевой задачи будет единственным с точностью, быть может, до смещений срединной поверхности как жесткого целого. [40]
Книга содержит краткие формулировки и точные решения более 2000 уравнений и задач математической физики. Описан ряд новых решений линейных уравнений и краевых задач. Особое внимание уделено уравнениям и задачам общего вида, которые зависят от произвольных функций. Приведены формулы для эффективного построения решений неоднородных краевых задач различного типа. В целом, справочник содержит больше уравнений и задач математической физики, чем любые другие книги. [41]