Cтраница 2
Результаты многочисленных публикаций М.А. Био ( М.А. Biot) по трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых упругих тел нашли отражение в его монографии [292], которая является первой монографией по трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел. Позже линеаризированные соотношения трехмерной теории устойчивости деформируемых тел были получены в лагран-жевых координатах В.В. Новожиловым [198, 199] и авторами работы [299] для изотропного упругого тела с произвольной формой упругого потенциала. В дальнейшем трехмерные линеаризированные задачи механики деформируемого тела при конечных докритических деформациях рассматривались также в работах А. [16]
Причем не исключена возможность существования режимов нагружения ( неоднородная линеаризированная задача), допускающих нетривиальное решение уже в начале процесса пластического деформирования. Для трехмерной упругопластической задачи этот вопрос является достаточно сложным и еще не решенным. Для режимов нагружения, сводящихся к однородным линеаризированным задачам, изучение потери устойчивости процесса деформирования связано с решение задачи об определении основного процесса [162] деформирования. Таким образом, основная трудность при исследовании бифуркации состояния равновесия - это решение задачи устойчивости с неизвестными границами зон разгрузки, а в случае исследования бифуркации процесса деформирования она переносится на определение продолжения основного процесса деформирования. При наличии такого рода принципиальных трудностях естественны упрощения задач, которые связаны, как отмечалось выше, с осуществлением перехода к задачам с известными зонами разгрузки, решение которых значительно проще. В случае исследования устойчивости состояния равновесия вводится обобщенная концепция продолжающегося нагружения без выяснения вида малой дополнительной нагрузки, компенсирующей появление дополнительных зон разгрузки. В случае исследования устойчивости процесса деформирования, когда зоны разгрузки в исходном невозмущенном состоянии, в основном и побочном процессах деформирования совпадают ( равноактивная деформация по терминологии работы [162]) опять приходим к той же задаче ( о бифуркации состояния равновесия) с известными зонами разгрузки совпадающей по существу с соответствующими задачами для тел с кусочно-однородными свойствами. [17]
В работе А. А. Белолипец-кого и А. М. Тер-Крикорова [23] была аналитическими методами малого параметра исследована задача эволюции стационарного решения нелинейного параболического уравнения после потери им устойчивости. Было показано, что существуют некоторые двухпараметрические семейства неоднородных по пространству однородных решений, к которым при выполнении некоторых условий эволюционирует решение с произвольными начальными условиями. В работе [24] эти же авторы обобщили полученное решение на случай абстрактного нелинейного параболического дифференциального уравнения для того случая, когда бифуркация происходит в окрестности простого собственного значения линеаризированной задачи. В работе [25] были получены более общие результаты уже для уравнений реакции-диффузии. [18]
Ниже рассматривается линеаризированная осесиммет-ричная задача о вдавливании тонкого тела вращения в пластическое полупространство. Определяется поверхность выпучившегося материала. Обсуждается аналогия между линеаризированными задачами газовой динамики и теории идеальной пластичности. [19]