Cтраница 2
Если некоторая величина остается неизменной при данных растяжениях, то она называется безразмерной. В первой части Пи-теоремы утверждается, что число независимых безразмерных величин определяется числом независимых инвариантов соответствующего действия группы. [16]
В основе метода подобия и размерности лежат по существу представления о группах преобразований г. Однако прямая связь метода с теорией групп была уяснена позже. Фундаментальным положением метода является такшазываемая пи-теорема, позволяющая выделять из совокупности опре-делйющих параметров задачи безразмерные комплексы, через которые фактически и влияют эти параметры на решение. Теорема эта была впервые сформулирована еще в 1892 г. А. [17]
Такое соотношение называется масштабно инвариантным, если оно не меняется при изменении масштабов измерения основных величин. Масштабно инвариантные соотношения часто имеют большое значение в физике. Вторая часть Пи-теоремы утверждает, что всякое такое соотношение можно выразить только через безразмерные комбинации физических величин. [18]
К сожалению, в приложениях теории размерностей справедливость основного предположения почти никогда не проверяется. В этой работе подчеркивается, в частности, что справедливость известной Пи-теоремы, являющейся основным результатом теории размерностей, сомнений не вызывает; трудность зде. [19]
Те, кого интересует нахождение точных инвариантных относительно группы решений уравнений с частными производными, могут прямо перейти к гл. В § 3.1 излагается основной метод вычисления этих решений с помощью редукции, а в § 3.2 он иллюстрируется несколькими примерами. Третий параграф этой главы относится к задаче классификации таких решений и требует несколько более тонких результатов по алгебрам Ли из § 1.4. Два последних параграфа гл. Для приложений знакомства с ними не требуется; впрочем, в § 3.4 проводится обсуждение важной Пи-теоремы из теории размерности. [20]
Под моделированием в широком значении этого слова понимается описание какого-то явления через его образ, эквивалентный исходному явлению ( прототипу) в некотором смысле. Предполагается, что изучая образ, можно получить тем самым характеристику исследуемого явления - по крайней мере в рамках принятых представлений об эквивалентности. Эффективность моделирования будет, конечно, решающим образом зависеть от того, насколько глубоки и обоснованы упомянутые представления. В этом плане, согласно теории подобия, основным условием, допускающим такой пересчет от одного процесса к другому, является равенство всех возможных взаимно независимых безразмерных комбинаций их характеристик; эти комбинации получили название критериев подобия. Основное место в теории подобия занимает п - теорема ( пи-теорема), утверждающая, что максимальное число таких комбинаций для процесса, описываемого п размерными величинами, равно n - k, где k - число независимых размерностей ( массы, длины, времени и т.п.), участвующих в описании процесса. [21]