Cтраница 2
Гораздо труднее в стереометрических задачах увидеть полезное дополнительное построение, приводящее к решению. [16]
Вторая глава посвящена решению стереометрических задач. Авторы убеждены, что стереометрические задачи нельзя успешно решать, минуя задачи на построение в пространстве и в особенности на построение на изображениях пространственных фигур. При этом, естественно, необходимо уделить внимание и так называемым воображаемым построениям ( иллюстративные чертежи), которые выполняются при изложении начальных сведений стереометрии, и эффективным построениям ( решающие чертежи), которые выполняются при изложении последующих разделов. [17]
Особую роль в решении стереометрической задачи играют чертежи - плоские изображения пространственных объектов. Точки и пространственные прямые на чертеже изображаются точками и прямыми. А вот плоскости, сферы и другие поверхности приходится домысливать, имея на чертеже лишь изображения их отдельных элементов - прямых, точек, окружностей. Ряд свойств фигур сохраняется на чертеже. Например, параллельные прямые остаются параллельными. Но в тоже время происходят и искажения реальных соотношений между объектами. Например, прямые, реально не пересекающиеся, на чертеже могут иметь общие точки. Все это вносит определенные сложности в решение стереометрических задач и может привести к ошибкам. [18]
Особенно это относится к стереометрическим задачам. Как известно, плоское изображение пространственных конфигураций всегда возможно лишь с искажениями, и потому чертеж такой конфигурации необходимо еще правильно понимать. [19]
Доказательство является наиболее трудной частью решения стереометрической задачи. Здесь, как и в планиметрии, необходимы интуиция, изобретательность, умение проанализировать задачу, выделив существенные для решения отношения между участвующими в ней объектами и их элементами. Все это приобретается с опытом. [20]
Как правило, на вступительных экзаменах предлагаются стереометрические задачи, в которых необходимо что-нибудь вычислить: угол или расстояние между прямыми или плоскостями, расстояние между точками, площадь сечения или объем какого-то тела и т.п. Другими словами, в этих задачах необходимо получить численный ответ. Однако за такой постановкой чаще всего скрывается необходимость доказать какое-либо свойство заданной конфигурации или тела. После того как это свойство установлено, вычислительная часть становится более или менее простой. [21]
Сечения многогранников плоскостью используются при решении многих стереометрических задач. В этом параграфе разобраны некоторые способы построения сечений. Рассмотрены сечения плоскостями, проходящими через данные точку и прямую, через три данные точки, а также сечения, способ задания которых содержит условие параллельности сечения данной плоскости, данной прямой или двум данным прямым. Примеры построения сечения плоскостями, перпендикулярными данной прямой или плоскости, приведены в гл. [22]
Сечения многогранников плоскостью используются при решения многих стереометрических задач. В этом параграфе разобраны некоторые способы построения сечений. [23]
Сечения многогранников плоскостью используются при решении многих стереометрических задач. В этом параграфе разобраны некоторые способы построения сечений. Рассмотрены сечения плоскостями, проходящими через данные точку и прямую, через три данные точки, а также сечения, способ задания которых содержит условие параллельности сечения данной плоскости, данной прямой или двум данным прямым. Примеры построения сечения плоскостями, перпендикулярными данной прямой или плоскости, приведены в гл. [24]
Сечения многогранников плоскостью используются при решении многих стереометрических задач. В этом параграфе разобраны некоторые способы построения сечений. [25]
Комплексное использование построений и вычислений упрощает поиск решений стереометрических задач и сокращает вычисления. При этом не следует забывать и о дополнительных построениях. [26]
Комплексное использование построений и вычислений особенно эффективно при решении сложных стереометрических задач. Это позволяет убедить учащихся в необходимости и полезности аккуратных инструментальных построений при решении стереометрических задач, в том, что комплексное использование аналитических и конструктивных методов существенно упрощает вычисления. [27]
Для того чтобы выбрать наиболее рациональный план и метод решения стереометрической задачи, важно с самого начала разобраться, является данная задача аффинной или метрической. [28]
Используя материал двух предыдущих параграфов, решим в координатной форме некоторые стандартные стереометрические задачи. При этом будем всюду предполагать, что рассматриваемые прямые и плоскости заданы своими уравнениями. [29]
Применение этих способов позволяет более полно использовать аппарат параллельного проектирования при решении стереометрических задач. [30]