Cтраница 3
Можно показать, что в этом случае две функции являются аналитическим продолжением одна другой. Ее доказательство требует более глубокого развития теории функций многих комплексных переменных2), чем это сделано в данной книге. Доказательство Браудера, по-видимому, самое удовлетворительное из трех. [31]
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых обобщений утверждения ( а) из следствия 8.6.15. Эти обобщения можно делать в двух направлениях; первое из них относится по-прежнему к банаховым пространствам, но отображение и уже не предполагается непрерывным. Второе связано с попытками отказаться от условия, что Е и F - банаховы пространства. Работа Браудера объемиста и довольно сложна; мы ограничимся рассмотрением случая банаховых пространств. [32]
При этом если гомоморфизм групп - K не имеет ядра, то это - изоморфизм. В приложениях к классификационной теории класса многообразий, имеющих общий гомотопический тип ( С. П. Новиков, начало 1960 - х гг.), и к задаче о гомотопических типах замкнутых гладких многообразий ( Браудер, С.П.Новиков, начало 1960 - х гг.) мы всегда встречаемся с ситуацией, когда гомотопический тип многообразий задается некоторым CW - комплексом Л / з1 Мп. В наиболее общей задаче Браудера о выделении гомотопических типов многообразий среди комплексов само М % может не быть даже многообразием и может иметь другую геометрическую размерность; нужен лишь класс гомологии [ Мп ] Нп ( Мп, Z) такой, что оператор а - а М определяет изоморфизм Пуанкаре гомологии и когомологий. Такие комплексы называют комплексами Пуанкаре. [33]
Общая черта двух подходов состоит в том, что оба они сводят теоремы существования к соответствующим априорным неравенствам. Работа [1] задумана как введение к ряду работ, посвященных приложениям к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных. Публикация этих приложений начата Браудером [ 1а ] и будет продолжена в последующих статьях, которые будут выходить под одним и тем же общим названием. [34]
Условие (5.78) необходимо для оценки (5.80) на всем классе рассматриваемых операторов. Оно необходимо для сходимости аппроксимации Браудера - Тихонова со скоростью 0 ( е) ( см. гл. [35]
Материал этих параграфов является в основном классическим для того раздела нелинейного анализа, который принято называть методом монотонных операторов. Ценной стороной этого метода являются приложения IK нелинейным эллиптическим и параболическим уравнениям. Теорема о неподвижной точке ( доказанная Жиковым) является некоторым обобщением известной теоремы ( обычно приписываемой Браудеру), состоящей в том, что нерастягивающий оператор Т: Н - Н имеет неподвижную точку, если он оставляет инвариантным ограниченное выпуклое множество. [36]
Использование теории распределений позволяет формулировать рассматриваемые задачи в терминах непрерывных операторов, действующих в весьма сложных локально выпуклых пространствах. Метод Браудера, возникший под влиянием идей Дж. Неймана, применим к замкнутым, не обязательно непрерывным операторам, действующим в относительно простых пространствах. В работе Браудера [1] содержится весьма общее и глубокое изложение аналогов ряда результатов § 8.6 и 8.7 для замкнутых операторов с всюду плотной областью определения, причем для очень широкого класса локально выпуклых пространств. Формулировка одного из таких результатов для случая банаховых пространств дана в теореме 8.7.9, утверждающей, что замкнутый линейный оператор с всюду плотной областью определения, действующей из банахова пространства Е в другое такое пространство F, является отображением на тогда и только тогда, когда его сопряженный обладает непрерывным обратным оператором. [37]
Ими же было доказано, что для n 2 ( mod 4) проблема, вообще говоря, решается не всегда, и препятствие к ее решению называется инвариантом Кервера исходного погружения. Им было построено погружение тора Sl x S1 - К3, которое не кобордантно гомотопической сфере. Кервер [13] доказал, что для n 10 произвольное погружение кобордантно погружению гомотопической сферы. Результат Кервера был обобщен вначале Брауном и Петер-соном [7] на случай n 2 ( mod 8) ( и n 2) и затем Браудером, который доказал следующее. [38]
Кервер и Милнор решали проблему 1.1, используя технику перестроек, которая позволяет в данном классе кобордизма найти многообразие, у которого гомотопические группы до средней размерности нулевые. Для случая, изученного в теореме 1.1, нет препятствия к перестройке гомотопической группы в средней размерности, тем самым в классе кобордизма будет найдена гомотопическая сфера. Кервер и Милнор определили этот инвариант в терминах инварианта Арфа квадратичной формы, которая определена на когомологиях средней размерности того многообразия, которое представляет данный класс кобордизма после соответствующих перестроек. Заметим, что это определение достаточно сложное. Доказательство Браудера теоремы 1.2 требует привлечения технических соображений и выражает инвариант Кервера через гомотопическую группу некоторого комплекса Тома. Адамса выживает на бесконечности. [39]
Так, например, Я-пространство может быть ассоциативным или только гомотопически ассоциативным, или вообще не обладать свойством ассоциативности; аналогично дело обстоит с коммутативностью. Комбинация этих свойств позволяет разбить / / - пространства на девять непересекающихся классов. В работе Адамса [221] показано, что все эти классы непусты. Вопрос о гомотопической коммутативности групп Ли рассматривали Джеймс и Томас [224], а также Араки, Джеймс и Томас [225], которые, в частности, доказали, что ни одна компактная связная неабелева группа Ли не может быть гомотопически коммутативной. В работе Браудера [106] показано, что если алгеб ракогомологии пространства петель над некоторым односвязным Я-пространством имеет ( как группа) конечное число образующих, то это пространство петель имеет слабый гомотопический тип тора. С другой стороны, в работе Лойбела [228], см. также [146], показано, что все / / - строения на любом торе гомотопически эквивалентны друг другу и потому гомотопически коммутативны и гомотопически ассоциативны. В этой же работе Лойбела найдены также все умножения, возможные на любых произведениях сфер. Наконец, в работе Джеймса ( 146 ] изучены го-мотспически коммутативные умножения, возможные на л-мерных сферах. [40]