Cтраница 2
Три прямые, соединяющие пары противоположных вершин, должны проходить через точку X Брианшона. [16]
Если рассмотрим пучок второго порядка, распавшийся на два пучка первого порядка, то можем применить теорему Брианшона к этому частному случаю. [17]
Поэтому шестая ( произвольная) прямая этого пучка должна удовлетворять некоторому условию, которое в геометрической форме выражается теоремой Брианшона. Последняя, таким образом, является своего рода проективным эквивалентом уравнения пучка второго порядка. [18]
Аналогично тому как теорема Паскаля позволила нам указать построение любого числа точек линии второго порядка по ее пяти точкам, из теоремы Брианшона непосредственно вытекает способ построения ( одной только линейкой) любого числа касательных к ( невырожденной) линии второго порядка по ее пяти касательным. [19]
Аналогично тому, как из теоремы Паскаля можно вывести ряд новых предложений, считая, что те или иные вершины вписанного шестиугольника совпадают между собой ( см. примечание к предыдущей задаче), так из теоремы Брианшона можно вывести новые теоремы, если считать отдельные стороны описанного шестиугольника совпадающими. [20]
Так как можно было бы в качестве двойных прямых выбрать другую пару противоположных сторон, а именно Ъ и d, то прямая, соединяющая точки прикосновения этой пары сторон, также должна проходить через точку Брианшона X. Следовательно, через эту точку в случае четырехсторонника проходят четыре прямые. [21]
Брианшон ( Brianchon) в 1818 г. опубликовал сочинение Les applications de la theorie destransver-s a 1 e s, касающиеся построений этого рода. [22]
Доказательство Брианшона использует двойственность точек и прямых, характерную для проективной геометрии. Однако случай, когда коническое сечение является окружностью, был вызовом математикам на поиски для него евклидов-ского доказательства. [23]
По теореме Брианшона три прямые АВ, CD я т должны проходить через одну точку. [24]
Теорема Паскаля ( доказанная им в 1639 г.) утверждает, что если AiAzA3AiA Aa - шестиугольник, вписанный в коническое сечение, го диагональные точки М, N, Р, получающиеся при пересечении прямых AiA3 и ЛИб, Л2Л3 и ЛбЛе, Л3Л4 и ЛвЛ1, лежат на одной прямой. Двойственная ей теорема Брианшона ( установленная им в 1806 г.) формулируется следующим образом. Вгзббе, BuBei, пересекаются в одной точке. [25]
Если считать отношением инцидентности между точкой и линией второго порядка принадлежность точки линии второго порядка, а отношением инцидентности прямой с линией второго порядка - касание прямой к линии второго порядка, то понятием, двойственным линии второго порядка, является линия второго порядка. Примером пары двойственных утверждений могут служить Брианшона теорема и Паскаля теорема. [26]
Способ кривых второго порядка основан на классических теоремах геометрии. Гргфические построения способа базируются на теоремах Паскаля и Брианшона, аналитический аппарат - на уравнении пучка кривых второго порядка. [27]
Подобно тому как шесть точек образуют 60 различных шестиугольников, из шести прямых можно получить 60 различных ше-стнсторонников. Поэтому шесть прямых пучка второго порядка определяют 60 точек Брианшона. [28]
Таким образом, устанавливается идентичность этих двух понятий: кривой второго порядка и кривой второго класса. Следовательно, все полученные ранее выводы относительно пучков прямых второго порядка, например теорема о шестцстороннике Брианшона, могут рассматриваться как теоремы о касательных кривой второго порядка. [29]
Доказать следующее предложение: если два треугольника вписаны в кривую второго порядка, то они также описаны около некоторой кривой второго порядка. Применить сперва теорему Паскаля к шести вершинам вписанных треугольников, а затем перенумеровать вершины так, чтобы шесть сторон этих треугольников образовали шестисторонник Брианшона. [30]