Cтраница 2
Проективная плоскость, получаемая путем добавления к евклидовой плоскости идеальных точек и идеальной прямой, называется классической проективной плоскостью. [16]
Эта теорема показывает, что отношение полярности на плоскости четного порядка совершенно не похоже на соответствующее отношение для классической проективной плоскости. [17]
Бурное развитие геометрии Галуа обязано, безусловно, тесной аналогии между геометрией на плоскости Галуа и аналитической геометрии на классической проективной плоскости, а также далеко продвинутой теории конечных полей. [18]
Мы уже знаем, что абстрактная проективная плоскость, определяемая этими аксиомами, не является противоречивым понятием: мы располагаем примерами классической проективной плоскости и плоскости Фано. [19]
В последующем изложении мы ограничимся случаем плоскости Галуа и будем использовать результаты параграфов 1.10 и 2.2. Прежде всего рассмотрим следующую теорему Паппа для классической проективной плоскости. [20]
Из доказанного ясно, что аналогия между плоскостями четного порядка и классической проективной плоскостью не столь тесная, как между плоскостями нечетного порядка и классической проективной плоскостью. Поэтому в ряде случаев необходим совершенно разный подход к плоскостям четного и нечетного порядков. [21]
Начиная с данного момента мы вводим понятие коники как точечного множества Й0, определенного уравнением (2.7.1), и приступаем к изучению свойств этого множества, которые аналогичны свойствам коник в классической проективной плоскости. [22]
Подтаблица данной конфигурации, получающаяся в пересечении первых семи строк и столбцов, есть не что иное, как конфигурация Фано ( конечная плоскость порядка два), откуда вытекает, что для этой конфигурации не существует модели из точек и прямых на классической проективной плоскости. [23]
Мы знаем также, что в случае классической проективной плоскости из сохранения коллинеарности следует сохранение двойного отношения. Для классической проективной плоскости линейное отображение ( определяемое аналитическим путем) и коллинеация ( определяемая геометрически) - эквивалентные понятия. [24]
Примем теперь указанные выше основные утверждения за аксиомы. Всякая теорема, являющаяся следствием этих аксиом, выполняется и для классической проективной плоскости. [25]
Нижеследующая теорема непосредственно вытекает из наших трех лемм. Она аналогична теореме Штейнера, относящейся к хорошо известному свойству коник на классической проективной плоскости. [26]
Как мы видим, между понятиями коллинеации на конечной плоскости и коллинеации на классической проективной плоскости существует значительная аналогия; используя эту аналогию, можно доказать многие теоремы конечной геометрии. Имеются, однако, и такие свойства конечной плоскости, которые существенно отличаются от свойств классической проективной плоскости и поэтому не могут быть доказаны по аналогии. [27]
О, О), ( О, 1, 0), ( О, О, 1), ( 1, 1, 1) являются неподвижными точками. Очевидно, тождественное отображение е есть одна из таких коллинеации. Более того, в случае классической проективной плоскости никакая коллинеация, кроме тождественной, не оставляет на месте указанные четыре точки. [28]
Любая таблица, полученная подобным образом, во всякой своей подтаблице размером 2x2 имеет по крайней мере одну пустую клетку. Конфигурация, удовлетворяющая этому условию, называется геометрической. Разумеется, не всякая геометрическая конфигурация допускает реализацию на евклидовой или хотя бы на классической проективной плоскости. Действительно, рассмотрим какую-нибудь конечную проективную плоскость. Однако мы знаем, что даже плоскость порядка 2 не реализуема на классической проективной плоскости. [29]
Любая таблица, полученная подобным образом, во всякой своей подтаблице размером 2x2 имеет по крайней мере одну пустую клетку. Конфигурация, удовлетворяющая этому условию, называется геометрической. Разумеется, не всякая геометрическая конфигурация допускает реализацию на евклидовой или хотя бы на классической проективной плоскости. Действительно, рассмотрим какую-нибудь конечную проективную плоскость. Однако мы знаем, что даже плоскость порядка 2 не реализуема на классической проективной плоскости. [30]