Cтраница 1
Классическая проективная плоскость определяется как множество, элементы которого называются точками, снабженное системой подмножеств, элементы которой называются прямыми. При этом должны выполняться следующие аксиомы. [1]
По аналогии с классической проективной плоскостью можно ввести поляритет, определяемый кривой второго порядка. [2]
Оказывается, однако, что существуют классические проективные плоскости, не изоморфные даже никакой плоскости вида P ( L), где L - трехмерное линейное пространство над каким-нибудь телом. Причина этого состоит в том, что в проективных плоскостях вида P ( L) теорема Дезарга по-прежнему верна, тогда как существуют нецезарговы плоскости, где она не выполняется. [3]
Теорема, а) Если в классической проективной плоскости выполнена аксиома Паппа, то плоскость является дезарговой. [4]
Эти теоремы, выражающие основные свойства классической проективной плоскости, будучи принятыми в качестве аксиом, определяют значительно более общее понятие afuграктной проективной плоскости. [5]
Мы знаем также, что в случае классической проективной плоскости из сохранения коллинеарности следует сохранение двойного отношения. Для классической проективной плоскости линейное отображение ( определяемое аналитическим путем) и коллинеация ( определяемая геометрически) - эквивалентные понятия. [6]
Мы рассмотрим теперь некоторые любопытные конфигурации на классической проективной плоскости. Кажущиеся, возможно, тривиальными, эти конфигурации, однако, часто приводят к простым и интересным интерпретациям абстрактных геометрических понятий. [7]
Получающаяся несимметрическая таблица инцидентности допускает реализацию на классической проективной плоскости. [8]
Понятие проективной плоскости, возникшее из понятия классической проективной плоскости, постепенно обобщалось, и одновременно с этим обобщалось понятие координат, служивших для алгебраического описания плоскости. Когда возникла потребность в алгебраическом описании недезарговых плоскостей, для задания координат стали применяться новые виды алгебраических систем, так называемые тернарные системы - с операцией, определяемой на множестве троек элементов основного множества. При фиксировании того или иного элемента тройки получаются некоторые бинарные операции, в терминах которых можно описать существенные свойства тернарных систем. [9]
Таким образом, обнаруживается тесная аналогия между классической проективной плоскостью и плоскостью Галуа. [10]
Пусть А и В - два треугольника на классической проективной плоскости, все шесть вершин которых - различные точки. Легко доказать, что отношения А - В и А - В не могут выполняться одновременно. А и В, вписанные друг в друга. [11]
В то же время геометрические представления этих конфигураций на классической проективной плоскости позволяет понять, чем они отличаются также и геометрически. [12]
Из доказанного ясно, что аналогия между плоскостями четного порядка и классической проективной плоскостью не столь тесная, как между плоскостями нечетного порядка и классической проективной плоскостью. Поэтому в ряде случаев необходим совершенно разный подход к плоскостям четного и нечетного порядков. [13]
Мы уже видели, что Вз и Bf не имеют реализаций на классической проективной плоскости, но допускает ли каждая из этих конфигураций вообще реализацию на какой-либо плоскости. Мы покажем, что плоскость Галуа порядка четыре содержит Вз-конфигурацию, а плоскость Галуа порядка три - В - конфигурацию. [14]
Как мы видим, между понятиями коллинеации на конечной плоскости и коллинеации на классической проективной плоскости существует значительная аналогия; используя эту аналогию, можно доказать многие теоремы конечной геометрии. Имеются, однако, и такие свойства конечной плоскости, которые существенно отличаются от свойств классической проективной плоскости и поэтому не могут быть доказаны по аналогии. [15]