Cтраница 2
Плоскость, образованную касательными, проведенными в точке К поверхности к производящей линии и к ходу, называют касательной плоскостью поверхности в данной ее точке. Плоскость Q является, таким образом, касательной плоскостью к рассматриваемой поверхности в точке К. [16]
В связи с предстоящими приложениями для нас особый интерес представляют изгибания строго выпуклых регулярных поверхностей с краем при условии неподвижности точек края и касательных плоскостей поверхности в этих точках. Для таких поверхностей мы прежде всего установим их однозначную определенность в классе дважды дифференцируемых поверхностей. [17]
Геодезической кривизной А в точке М линии Г на поверхности называется кривизна в той же точке кривой Г, являющейся проекцией Г на касательную плоскость поверхности в точке / И. [18]
Здесь р - радиус кривизны кривой у, где происходит разрыв изгибающего поля; а - угол между соприкасающейся плоскостью кривой 7 и касательной плоскостью поверхности; h - составляющая разрыва изгибающего поля по бинормали кривой у 5-толщина оболочки, Е - модуль упругости, v - коэффициент Пуассона. [19]
Аналогично вышеизложенному определяется понятие соприкосновения поверхности 52, принадлежащей данному семейству поверхностей Sa, с какой-нибудь кривой Z / t ( или с поверхностью Si) в нек-рой ее точке М ( в этих случаях порядок касания определяется также аналогично предыдущему; следует только вместо касательной прямой ММ, изображенной на рисунке, рассматривать касательную плоскость поверхности S2 в. [20]
D поверхности, которая ее содержит. Таким образом, касательные плоскости поверхности D перпендикулярны плоскости хОу следовательно, D - цилиндр. [21]
Это суть такие линии, соприкасающиеся плоскости которых являются касательными плоскостями поверхности, ибо в этом, очевидно, заключается необходимое и достаточное условие равенства нулю нормальной кривизны. [22]
Ось вращения а поверхности F содержит обе точки Р и Q, расстояние между которыми равно диаметру D поверхности F. Плоскости, перпендикулярные а в точках Р и Q, суть касательные плоскости поверхности F ( ср. Построение Шварца осуществляется, таким образом, в полосе, ограниченной этими двумя плоскостями, которые являются поэтому также касательными плоскостями поверхности F в точках Р и Q. [23]
Условия ( 144) не только необходимы, но и достаточны. Кроме того, эти условия инвариантны относительно выбора базисных векторов поля Ет касательных плоскостей поверхности Sm. Геометрически они означают, что каждая касательная плоскость поверхности Sm при ее параллельном перенесении в Vn вдоль любой кривой L с Sm остается касательной к поверхности. [24]
Таким образом вновь появляется конгруэнция осей со циклов Рибокура, причем каждая ось несет на себе оо1 циклических систем, расположенных на одной сфере, имеющей ось своим диаметром. При изгибании поверхности на главном основании лучи конгруэнции переносятся, неразрывно связанные с перпендикулярными к ним касательными плоскостями поверхности. При этом развертывающиеся поверхности при изгибании остаются развертывающимися и все время соответствуют основанию изгибания. Конгруэнция остается циклической, а сферы, несущие циклы, расширяются или сжимаются, сохраняя свои центры на лучах конгруэнции так, что линия пересечения с касательной плоскостью поверхности остается неизменной. [25]
Эти термины связаны с видом, который имеет так называемая индикатриса Дюпена в рассматриваемой точке поверхности. Именно, кривая, которая получается в результате пересечения поверхности с плоскостью, параллельной и бесконечно близкой к касательной плоскости поверхности в рассматриваемой точке, является в первом случае ( в первом приближении) эллипсом, а во втором случае - гиперболой. В обоих случаях главные сечения поверхности даются главными осями индикатрисы Дюпена. Асимптоты индикатрисы иногда называют соприкасающимися касательными; разумеется, они действительны только в случае гиперболической кривизны. Если желательно ввести соприкасающиеся касательные без помощи индикатрисы, то можно сказать: касательная плоскость к поверхности в какой-нибудь ее точке с гиперболической кривизной пересекает эту поверхность по кривой с двойной точкой; две касательные к этой кривой в двойной точке и являются соприкасающимися касательными. Или: соприкасающиеся касательные имеют с поверхностью три общие бесконечно близкие точки. Это свойство и оправдывает их название. [26]
С понятием касательной плоскости тесно связано понятие нормали к поверхности. Нормалью п поверхности Ф в некоторой ее точке М называют прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную касательной плоскости S поверхности Ф, построенной в этой точке. [27]
Это надо понимать так: если из некоторой точки поверхности возникает касательная плоскость взаимной поверхности, то одновременно из касательной плоскости поверхности возникает соответствующая точка прикосновения взаимной поверхности. [28]
Прц бесконечно-малом сдвиге точки по геодезической поверхности карательная к геодезической прямая ( с точностью до малых высшего порядка) поворачивается в плоскости исходной касательной и нормали к поверхности. По условию, касательная плоскость к поверхности уровня второй функции в точке касания этой поверхности с нашей прямой перпендикулярна касательной плоскости поверхности уровня первой функции. Следовательно, скорость изменения второй индуцированной функции под действием фазового потока, заданного первой, обращается в нуль в изучаемой точке пространства прямых, что и доказывает лемму В. [29]
Обозначим через 2а угол между касательными плоскостями поверхности F вдоль ребра у. Так как геодезические кривизны ребра Y на поверхности F отличаются только знаком при подходе к - у с двух сторон, то соприкасающаяся плоскость ребра образует с касательными плоскостями поверхности одинаковые углы, равные а. [30]