Cтраница 3
По поверхности контакта действует нормальное давление с интенсивностью р ( х у), тогда как касательные напряжения на ней считаем отсутствующими. Далее предполагается, что при рассмотрении локальных эффектов в окрестности контакта можно заменить соприкасающиеся тела двумя упругими полупространствами, прижатыми друг другу по площадке Q, расположенной в разделяющей полупространства плоскости П - касательной плоскости поверхностей S, 82 в точке О. [31]
Условия ( 144) не только необходимы, но и достаточны. Кроме того, эти условия инвариантны относительно выбора базисных векторов поля Ет касательных плоскостей поверхности Sm. Геометрически они означают, что каждая касательная плоскость поверхности Sm при ее параллельном перенесении в Vn вдоль любой кривой L с Sm остается касательной к поверхности. [32]
Для этого достаточно показать, что шар такой величины, касающийся F в произвольной точке Р, не выходит за пределы F, или, что то же самое, что F не заходит ни в один такой шар. Предположим противное: пусть точка Q поверхности F лежит внутри касательного в точке Р шара. Мы определим направление ( или, если их несколько, одно из направлений), параллельное касательным плоскостям поверхности в точках Р и Q и спроектируем поверхность F и наш шар на плоскость, перпендикулярную этому направлению. Фигура, в которую проектируется поверхность F, пусть будет О, а проекцию нашего шара назовем К. Тогда К есть круг, который касается О в точке Р ( проекции точки Р), а О проходит через точку Q ( проекцию точки Q), лежащую внутри К. [33]
Ось вращения а поверхности F содержит обе точки Р и Q, расстояние между которыми равно диаметру D поверхности F. Плоскости, перпендикулярные а в точках Р и Q, суть касательные плоскости поверхности F ( ср. Построение Шварца осуществляется, таким образом, в полосе, ограниченной этими двумя плоскостями, которые являются поэтому также касательными плоскостями поверхности F в точках Р и Q. [34]
Изложим план решения задачи. Этот процесс может быть описан наипростейшим образом с помощью опорной функции поверхности F ( см. стр. В точках этого сферического изображения зададим функцию, равную опорной функции Н, которая выражает положительное расстояние от М до соответствующей касательной плоскости поверхности F. Представим Н как функцию географических координат ( долготы ( [ и широты ф) на сфере. [35]
Обратно, зададимся семейством сфер ( 2) с центрами на D; их ортогональные траектории будут плоскими линиями, расположенными в плоскостях, проходящих через D. Исходя из траекторий, которые содержатся в данной плоскости и зависят от одного параметра, можно получить все остальные поворотом на соответствующие углы вокруг оси D; эти кривые зависят, следовательно, от двух параметров. Если связать эти два параметра каким-либо соотношением, то получим поверхность S, отвечающую условию задачи. Действительно, касательная плоскость поверхности S в точке m содержит касательную От соответствующей кривой Гх; она, следовательно, ортогональна сфере 2 с центром О и радиусом От; значит, 2 будет ортогональна поверхности S вдоль общей линии Г2, которая, таким образом, будет линией касания конуса, описанного около поверхности S с вершиной О и, кроме того, будет линией кривизны поверхности S. Поскольку кривые Г2 являются линиями кривизны, то же самое имеет место для кривых Гь которые им сопряжены; S есть поверхность Иоахимсталя. [36]
Одновременно с С. П. Финиковым С. Д. Российский [ ], 2, 3 ] обратился к метрической теории расслояемых пар, исследуя тот случай, когда общий перпендикуляр пары соответствующих лучей d, d описывает нормальную конгруэнцию. Гораздо интереснее его совместное с С. С. Бюшгенсом исследование) изгибания пары конгруэнции при изгибании одной из расслояющих поверхностей. В случае двусторонней расслояемости решениями могут быть: 1) конгруэнция ( d) - конгруэнция нормалей поверхности постоянной кривизны; с каждой конгруэнцией ( d) связывается оог конгруэнцией ( d) ( случай Бианки); 2) конгруэнция ( d) - конгруэнция нормалей какой-то поверхности I, отличной от той поверхности S, которая производит изгибание. При изгибании луч d вообще перемещается в касательной плоскости поверхности S. [37]
Касательные плоскости к поверхности D, которые образуют первое семейство развертывающихся поверхностей конгруэнции нормалей, пересекают, следовательно, поверхность S вдоль кривого первого семейства линий кривизны. Второе семейство, образованное ортогональными траекториями первого семейства, состоит из ортогональных траекторий к касатедьным плоскостям поверхности D. Эти кривые зависят от двух параметров: это те линии, которые имеют D в качестве полярной поверхности. Если взять произвольное однопараметрическое семейство таких кривых, то они образуют поверхность S, пересекающую все касательные плоскости поверхности D под прямым углом. Любая из этих плоскостей содержит нормали к поверхности S вдоль всего соответствующего плоского сечения; D будет, следовательно, одной полостью поверхности центров поверхности S. Задача сводится к отысканию ортогональных траекторий К к соприкасающимся плоскостям линии Г ( задача, которая составляет упражнение 14 гл. [38]
Таким образом вновь появляется конгруэнция осей со циклов Рибокура, причем каждая ось несет на себе оо1 циклических систем, расположенных на одной сфере, имеющей ось своим диаметром. При изгибании поверхности на главном основании лучи конгруэнции переносятся, неразрывно связанные с перпендикулярными к ним касательными плоскостями поверхности. При этом развертывающиеся поверхности при изгибании остаются развертывающимися и все время соответствуют основанию изгибания. Конгруэнция остается циклической, а сферы, несущие циклы, расширяются или сжимаются, сохраняя свои центры на лучах конгруэнции так, что линия пересечения с касательной плоскостью поверхности остается неизменной. [39]