Cтраница 1
Биссектральная плоскость двугранного угла при ребре AS в сечении с пирамидой дает треугольник SAK, где АК ВС ( рис. 265); / SKA-линейный угол двугранного угла при ребре ВС. Биссектриса КМ угла SKA есть линия пересечения двух биссектральных плоскостей пирамиды. Следовательно, центр О вписанного в пирамиду шара лежит на прямой КМ. Опустим из точки О перпендикуляры 00t и ОЕ соответственно на основание ABC и грань SAB, а из точки Ог-перпендикуляр на ребро АВ. [1]
Биссектральной плоскостью двугранного угла называется плоскость, делящая этот угол пополам. [2]
Через ребро SA треугольной пирамиды SABC проводится биссектральная плоскость двугранного угла, образованного гранями SAB и SAC. Ребро ВС делится этой плоскостью на два отрезка длины Ь и с. [3]
Теперь докажем, что РН лежит в биссектральной плоскости двугранного угла между плоскостями АРВ и DPC. Убедимся, что этой биссектральной плоскостью является плоскость LPK, для этого покажем, что расстояние от произвольной точки 5 этой плоскости до граней АРВ и DPC одно и то же. Соединим мысленно точку S с вершинами Р, А, В, С и D пирамиды. [4]
Теперь докажем, что РН лежит в биссектральной плоскости двугранного угла между плоскостями АРВ и DP С. Убедимся, что этой биссектральной плоскостью является плоскость LPK, для этого покажем, что расстояние от произвольной точки S этой плоскости до граней АРВ и DPC одно и то же. Соединим мысленно точку S с вершинами Р, А, В, С и D пирамиды. Однако из равенства объемов пирамид SABP и SDCP в силу равенства треугольников АВР и DCP ( по трем сторонам) следует равенство высот, опущенных из точки S соответственно на грани АВР и DCP. Итак, LPK - биссек-тральная плоскость, и высота РН лежит в этой плоскости. [5]
Теперь докажем, что РН лежит в биссектральной плоскости двугранного угла между плоскостями А РВ и DPC. Убедимся, что такой биссектральной плоскостью яв ляется плоскость LPK; для этого покажем, что расстояние от произвольной точки S ( точка S на рис. 125 не изображена) плоскости LPK. [6]
Доказать, что прямая D лежит в биссектральной плоскости двугранного угла. [7]
Докажем вначале, что каждая сторона четырехугольника параллельна биссектральной плоскости двугранного угла, образованного данными взаимно перпендикулярными плоскостями. [8]
Так как плоскость Р есть, по условию, биссектральная плоскость двугранного угла при ребре SA или угла, с ним смежного, то плоскость / V симметрична плоскости М относительно плоскости Р ( черт. Аналогично, плоскость L симметрична плоскости N относительно плоскости Q, и плоскость М - плоскости L относительно плоскости R. [9]
Так как ОР - ОР то плоскость OAiAs есть биссектральная плоскость двугранного угла с ребром AiAs ( см. задачу 31) и поэтому отрезок Р Р перпендикулярен к плоскости OAiAs и делится этой плоскостью пополам. [10]
Многоугольники ABCD и A B C D симметричны друг другу относительно биссектральной плоскости двугранного угла, образованного их плоскостями. Следовательно, существует усеченная призма, основаниями которой служат рассматриваемые многоугольники и ребра которой перпендикулярны к этой плоскости симметрии. Рассмотрим многогранник, представляющий собой совокупность всех таких усеченных призм, имеющих каждая своими основаниями два последовательных положения данного многоугольника. [11]
В силу свойств пополнительного трехгранного угла, прямая SD лежит в биссектральной плоскости двугранного угла при ребре SA данного трехгранного угла и перпендикулярна к этому ребру. [12]
В решении упражнения 456 было показано, что всякая плоскость, одинаково наклоненная к двум граням двугранного угла, параллельна перпендикуляру к биссектральной плоскости данного двугранного угла или перпендикуляру к биссектральной плоскости угла, с ним смежного. [13]
Если через ребро CD произвольного двугранного угла A-CD - В проведены дзе плоскости CD и CD так, что биссектральная плоскость одного из образованных ими двугранных углов совпадает с биссектральной плоскостью данного двугранного угла J), то расстояния от граней двугранного угла любых двух точек О и О, лежащих соответственно на этих плоскостях, обратно пропорциональны друг другу. [14]
Из условия задачи следует, что проекции отрезка АВ на плоскости аир имеют равные длины, а тогда точка В равноудалена от плоскостей а и р и, следовательно, лежит в биссектральной плоскости двугранного угла, образуемого этими плоскостями. То же самое верно и для точки С. [15]