Cтраница 2
Из условия задачи следует, что проекции отрезка АВ на плоскости аир имеют равные длины, а тогда точка В равноудалена от плоскостей а и р и, следовательно, лежит в биссектральной плоскости двугранного угла, образуемого этими плоскостями. [16]
Так как плоскость Р перпендикулярна к плоскости B SC, то она будет проходить через перпендикуляр SA к этой плоскости, а так как она, кроме того, проходит через биссектрису плоского угла B SC трехгранного угла SA B C, то она будет, как легко видеть, биссектральной плоскостью двугранного угла при ребре SA или угла, ему смежного, в трехгранном угле SA B C, пополнительном по отношению к искомому. [17]
Если биссектриса одного из плоских углов трехгранного угла образует с противолежащим ребром SA острый ( тупой) угол, то-плоскость, проходящая через эту биссектрису и ребро SA, образует с плоскостью большего из двух других плоских углов двугранный угол, меньший ( больший), чем с плоскостью меньшего из этих двух углов; угол между этой биссектрисой и ребром SA будет больше ( меньше) того плоского угла, который образуется в пересечении данного трехгранного угла с биссектральной плоскостью двугранного угла при ребре SA ( за исключением случая равнобедренного трехгранного угла), и меньше ( больше) полусуммы двух других плоских углов; сумма этих двух последних плоских углов будет меньше ( больше) двух прямых. [18]
Аналогично показывается, что плоскость SK. B ест биссектральная плоскость двугранного угла между плен скостями ABS я BCS. Поскольку центр шара, касающегося плоскостей ABS, BCS и ACS, лежит в биссектраль ных плоскостях двугранных углов между этими плоскостями, то он лежит и на линии их пересечения. А так как плоскости SKB и ADS пересекаются по прямой SIC - высоте пирамиды SABC, то центр любого шара, касающегося трех плоскостей ABS, BCS и ACS, лежит на высоте SK пирамиды. Бели теперь из любой точки высоты 5 / С опустить перпендикуляр на прямую SD, то он будет перпендикулярен к плоскости BCS, так как лежит в плоскости, перпендикулярной ребру ВС. [19]
Геометрическое место точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла, есть плоскость, делящая этот двугранный угол на два равных между собой двугранных угла. Такая плоскость, по аналогии с биссектрисой плоского угла, называется биссектральной плоскостью двугранного угла. [20]
Так как плоскость LPK перпендикулярна к плоскости APD ( плоскость APD проходит через перпенди куляр AD к плоскости LP / C) и к плоскости ВРС ( по аналогичным причинам), то плоскость LPK перпендикулярна к линии пересечения плоскостей APD и ВРС и, следовательно, угол LPK. L равнобедренный и высота РН одновременно является и его биссектрисой; Как известно, биссектриса линейного угла, соответствующего двугранному углу, лежит в биссектральной плоскости двугранного угла. [21]