Бройден

Cтраница 2

Сравнение затрат машинного времени показывает, что модификация через декомпозицию линейной подсистемы сокращает затраты машинного времени примерно в 5 раз по сравнению с затратами на решение исходной системы как для метода Н - Р, так и для метода Бройдена. [16]

Метод Ньютона - Рафсона имеет хорошую сходимость, но при этом необходим расчет обратной матрицы Якоби на каждой итерации, что приводит к большим затратам машинного времени. Метод Бройдена [15], являясь развитием метода Ньютона - Рафсона, лишен этого недостатка. [17]

Начальные приближения и окончательные результаты. [18]

При методе Бройдена отмечены небольшие различия сходимости по двум типам формулировок систем уравнений. Но эти различия не позволяют выявить какую-либо четкую тенденцию и слишком малы, чтобы быть значимыми. [19]

Из алгоритмов ( рис. 3.5 рис. 3.6) видно, что в методе Иьютона-Рафсона на каждой итерации необходимо ( N 1) вычислений невязок функции для получения всех элементов матрицы Якоб и. В методе Бройдена лишь на первой итерации требуется ( N 1) вычислений невязок функции для получения начального приближения матрицы Якоби. [20]

Непосредственное применение итерационных методов Н - Р (6.2) и метода Бройдена (6.4) для расчета систем уравнений БГЦ требует больших затрат машинного времени и может быть даже нерациональным. Для использования метода Бройдена необходимо запоминание матрицы [ Н ] ( п2 чисел), а корректировка этой матрицы требует примерно 3 / г2 операций умножения. Кроме этого, исходная матрица [ Я ] часто оценивается вычислением п2 частных производных с использованием численного возмущения в исходной точке и обращением полученной матрицы Якоби. [21]

Ньютона - Рафсона, используя которую удается предотвратить плохую сходимость или расходимость последнего. С этой целью в методе Бройдена вводится переменный демпфирующий, или поправочный, коэффициент tK, минимизирующий вектор евклидовой нормы ошибки системы уравнений (6.1) или, по крайней мере, приводящий к уменьшению этого вектора на каждом шаге итерационного процесса. [22]

Для декомпозиции исходных информационно-разреженных систем уравнений ГЦ ХТС и определения оптимального числа разрываемых, или итерируемых, переменных необходимо использовать алгоритмы преобразования двудольных информационных графов ( ДИГ), отображающих эти системы уравнений. Так как необходимый объем памяти и затраты машинного времени как для метода Бройдена, так и для метода Н - Р пропорциональны п2, то декомпозиция исходных систем уравнений на несколько подсистем с меньшим п несомненно является эффективной. Показано, что вычислительные затраты обычно минимальны при декомпозиции исходных систем уравнений на несократимые подмножества систем уравнений, которые представляют собой совместно замкнутые уравнения. Несократимыми подмножествами уравнений называются подмножества уравнений, которые уже больше не могут быть расчленены. [23]

Результаты расчета схемы Вильямса-Отто по уравнениям ( 11 124 - ( 11 126. [24]

Расчет схемы ( см. рис. 7) с помощью метода QNM2 показал, что число вычислений незначительно увеличивается при переходе от хорошего приближения к плохому. Интересно отметить, что методы Бройдена и QNM сходились, когда метод простой итерации расходился, и давали существенно лучшие результаты, когда метод простой итерации сходился. [25]

В работе [180] представлен метод расчета ректификации многокомпонентных смесей, основанный на совместном решении системы уравнений, описывающих процесс. При этом независимые переменные - температуры, потоки жидкости и пара на тарелках определяются методом 6 123 ], дающим квадратичную сходимость в окрестности корня. Показано [16,17,36,38,41,43], что использование для этой цели метода Бройдена [85,119] позволяет ускорить поиск решения в 1 5 - 2 раза. Совместное решение общей системы уравнений этим методом обеспечивает устойчивую сходимость к решению системы нелинейных уравнений. Однако приходится выполнять большой объем вычислений для определения частных производных от невязок материального и теплового балансов по выбранным 2N независимым переменным. В монографии [2] рассмотрены различные способы определения этих производных. С целью избежания громоздкости вычислительных операций в работе [150] предлагается учитывать влияние возмущения температур и потоков жидкости только на соседних тарелках, при этом для повышения точности определения направления градиента при сходимости к решению и сокращения вычислительных операций используются аналитически вычисленные частные производные. В работе [169] предлагается учитывать влияние возмущения лишь на своей j - ой тарелке. Этот метод, очевидно, требует минимального объема вычислений, однако проигрывает в надежности и достоверности результатов расчета при решении сложных задач. [26]

Рассматриваемая задача является кинематически определимой и сводится к решению нелинейного векторного уравнения (4.14) относительно векторного аргумента (4.7), определяющего характеристику АВ. Углы ( р и ц2 находим из уравнений (4.16) методом Бройдена. В результате в узловых точках характеристики АВ находим нарушения условий непрерывности скорости (4.14), представляющие векторную функцию векторного аргумента (4.7), определяющего характеристику АВ. [27]

Уравнения, описывающие эту ГЦ, аналогичны рассмотренным в предыдущей задаче, за исключением того, что в данном случае принимается во внимание зависимость коэффициента трения от расхода. Для описания этой системы необходимо 39 уравнений, из которых 22 являются линейными. Эта задача решалась как в модифицированной, так и в немодифицированной форме с использованием методов Н - Р и Бройдена. [28]

Матрица ( II, 52) является симметрической, поэтому ее норма равна максимальному собственному значению [ 20, с. Но норма произведения двух матриц меньше или равна произведению их норм [ 20, с. Следовательно, с увеличением / норма матрицы Cj не возрастает. С - - 0, а следовательно, В стремится к матрице А, нет. Отсюда следует, что для эффективной работы метода Бройдена требуется, чтобы в качестве В0 использовалось хорошее приближение к матрице Якоби. Это объясняет, почему обычно в качестве В0 используется разностная аппроксимация матрицы Якоби в начальной точке. [29]

Отсюда следует, что начиная с точки I, все последующие направления поиска будут лежать в подпространстве Q, ортогональном подпространству Q. Аналогично доказывается, что и все последующие векторы pk ( k i) будут принадлежать подпространству Q. Отсюда, между прочим, следует такой практический вывод. Поскольку маловероятно, чтобы истинное решение системы ( II, 8) лежало в этом подпространстве, то в этом случае будет найдено неправильное решение. Это же свойство, по-видимому, объясняет следующее явление, наблюдающееся при использовании метода Бройдена. Часто случается, что последовательные приближения X ] изменяются крайне медленно. По-видимому, это связано с тем, что в процессе поиска матрицы Ht становятся близкими к вырожденным, и направления поиска лежат вблизи некоторого подпространства, хотя решение не принадлежит этому подпространству. Поэтому очень важно принимать меры, препятствующие вырождению матрицы Я ( во время поиска. [30]

Страницы: 1 2