Cтраница 2
Площадь поверхности вращения легко определяется методом интегрирования при условии, что производящая кривая задается уравнением и является плоской меридиональной кривой. Если производящая кривая линия задается графически, то площадь поверхности вращения, образованной такой кривой, можно определить графо-аналити-ческим способом Паппа - Гюльдена или способом Громова. [16]
Следовательно, решение задачи о нахождении кривой, при вращении которой вокруг оси х получается поверхность вращения стационарной площади, может дать только цепная линия. Вопрос о том, действительно ли осуществляет эта цепная линия минимум площади поверхности вращения, мы не имеем возможности рассматривать здесь. [17]
Экстремалями являются цепные линии. В наших вычислениях был пропущен случай г / 0, и 0, в котором величина и а остается неопределенной ( или скорее равной 0) и который дает дополнительное решение г / const. Значит, ось х, ограничивающая нашу полуплоскость, является еще одной подозрительной кривой с нулевой площадью поверхности вращения. [18]
Станем вместе с кривой вращать вокруг оси х эту ломаную; она опишет некоторую поверхность, площадь которой мы умеем определять по правилам элементарной геометрии. Это определение площади поверхности вращения дает нам ключ к ее вычислению. [19]
Тейлора и к записи того, что в точке экстремума второй член обращается в нуль; из этого он исходит при распространении своего метода определения касательных и даже применяет такой образ действий для нахождения точек перегиба. Если при этом принять во внимание сказанное выше по поводу кинематики, то станет ясно, что объединение трех типов задач, связанных с первой производной, произошло довольно рано. Что же касается задач, связанных со второй производной, то они появляются лишь значительно позднее и в основном в работах Гюйгенса об эволюте кривой ( опубликованы в 1673 году в его Horologium Oscillatorium ( XVIb)); к этому моменту Ньютон с его флюксиями уже обладал всеми аналитическими средствами, необходимыми для решения таких задач; и несмотря на весь геометрический талант, который вложил Гейгене в эти задачи ( и из которых гораздо позже взяла свое начало дифференциальная геометрия), они в рассматриваемый период служили разве лишь тому, чтобы подтвердить силу методов нового анализа. Что касается интегрирования, то оно возникло у древних греков как вычисление площадей, объемов, моментов, как вычисление длины окружности п площадей сферических сегментов; XVII век прибавляет к этому спрямление кривых, вычисление площади поверхностей вращения и ( с работами Гюйгенса о сложном маятнике ( XVIb)) вычисление моментов инерции. [20]