Cтраница 1
Поверхность ранга 1 не имеет касательных плоскостей, так как все ее точки - двойные. [1]
Диаметр поверхности ранга 2 имеет особое направление. Действительно, как мы знаем, все диаметральные плоскости поверхности ранга 2 параллельны особому направлению, диаметр же, согласно теореме 2, есть ось некоторого пучка этих плоскостей. [2]
Заметим, что поверхности ранга 3 суть не что иное, как центральные поверхности второго порядка, определенные в п 2 предыдущего параграфа. [3]
Таким образом, поверхность ранга 1, не имеющая центров, есть цилиндрическая поверхность с образующими однозначно определенного направления. Итак, поверхность ранга 1, не имеющая центров, есть параболический цилиндр. [4]
Тем самым мы показали, что для поверхности ранга 1 всякое асимптотическое направление - особое. Вместе с тем мы снова видим, что для такой поверхности конус асимптотических направлений распадается на пару совпадающих плоскостей. [5]
Как мы знаем, конус асимптотических направлений поверхности ранга 1 вырождается в пару совпадающих плоскостей. Если эта поверхность имеет хотя бы один центр, то она имеет целую плоскость центров, и это тогда - единственная ее диаметральная плоскость вообще, причем асимптотический конус есть дважды взятая эта плоскость. Рассмотрим теперь поверхности ранга 1, не имеющие центров. Мы утверждаем, что диаметральными плоскостями такой поверхности служат все плоскости, параллельные плоскости асимптотических направлений, и только такие плоскости. [6]
В самом деле, как мы знаем из п 2, для поверхности ранга 1 каждое асимптотическое направление является особым. Но диаметральные плоскости параллельны всем особям направлениям. Следовательно, диаметральные плоскости рассматриваемой поверхности действительно параллельны плоскости асимптотических направлений. [7]
Сопоставляя это со сказанным в мелком шрифте в п 2 предыдущего параграфа, замечаем, что вещественные поверхности ранга 2, не имеющие центров, суть не что иное, как эллиптический и гиперболический параболоиды, а вещественные поверхности ранга 1, не имеющие центров, это - параболические цилиндры. [8]
Сопоставляя это со сказанным в мелком шрифте в п 2 предыдущего параграфа, замечаем, что вещественные поверхности ранга 2, не имеющие центров, суть не что иное, как эллиптический и гиперболический параболоиды, а вещественные поверхности ранга 1, не имеющие центров, это - параболические цилиндры. [9]
Поверхность второго порядка, обладающая хотя бы одной двойной точкой, является конической поверхностью с вершиною в этой точке, и обратно ( каждая) вершина конической поверхности второго порядка есть двойная точка этой поверхности; таким образом, неконическими поверхностями второго порядка являются поверхности ранга 4 и только они. [10]
Таким образом, поверхность ранга 1, не имеющая центров, есть цилиндрическая поверхность с образующими однозначно определенного направления. Итак, поверхность ранга 1, не имеющая центров, есть параболический цилиндр. [11]
Но в случае поверхностей ранга 1 все асимптотические направления-особые и тем самым автоматически обращают в нуль первые три члена в левой части последнего уравнения. Таким образом, для поверхностей ранга 1 направления XQ: YG: ZQ прямолинейных образующих определяются из системы уравнений ( 14), причем первые три из этих уравнений пропорциональны одному из них, скажем первому. [12]
В силу теоремы Б § 208, число линейно независимых решений системы ( 2) равно разности между 4 и рангом матрицы ( 3), причем одновременно с каждыми двумя решениями системы ( 2) также и любая их линейная комбинация является ее решением. Поэтому заключаем, что поверхность ранга 4 вовсе не имеет двойных точек, поверхность ранга 3 имеет одну и только одну двойную точку, поверхность ранга 2 имеет прямую двойных точек и, наконец, поверхность ранга 1 обладает целой плоскостью двойных точек. [13]
Диаметр поверхности ранга 2 имеет особое направление. Действительно, как мы знаем, все диаметральные плоскости поверхности ранга 2 параллельны особому направлению, диаметр же, согласно теореме 2, есть ось некоторого пучка этих плоскостей. [14]
В силу теоремы Б § 208, число линейно независимых решений системы ( 2) равно разности между 4 и рангом матрицы ( 3), причем одновременно с каждыми двумя решениями системы ( 2) также и любая их линейная комбинация является ее решением. Поэтому заключаем, что поверхность ранга 4 вовсе не имеет двойных точек, поверхность ранга 3 имеет одну и только одну двойную точку, поверхность ранга 2 имеет прямую двойных точек и, наконец, поверхность ранга 1 обладает целой плоскостью двойных точек. [15]