Cтраница 2
В силу теоремы Б § 208, число линейно независимых решений системы ( 2) равно разности между 4 и рангом матрицы ( 3), причем одновременно с каждыми двумя решениями системы ( 2) также и любая их линейная комбинация является ее решением. Поэтому заключаем, что поверхность ранга 4 вовсе не имеет двойных точек, поверхность ранга 3 имеет одну и только одну двойную точку, поверхность ранга 2 имеет прямую двойных точек и, наконец, поверхность ранга 1 обладает целой плоскостью двойных точек. [16]
В силу теоремы Б § 208, число линейно независимых решений системы ( 2) равно разности между 4 и рангом матрицы ( 3), причем одновременно с каждыми двумя решениями системы ( 2) также и любая их линейная комбинация является ее решением. Поэтому заключаем, что поверхность ранга 4 вовсе не имеет двойных точек, поверхность ранга 3 имеет одну и только одну двойную точку, поверхность ранга 2 имеет прямую двойных точек и, наконец, поверхность ранга 1 обладает целой плоскостью двойных точек. [17]
Для того чтобы плоское сечение поверхности второго порядка было центральным, необходимо и достаточно, чтобы плоскость сечения была параллельна двум, и только двум, различным асимптотическим направлениям. Таким образом, в случае центральной поверхности второго пор ка сечение будет центральным тогда и только тогда, когда параллельная ему плоскость, проходящая через центр, не является касательной плоскостью к асимптотическому конусу; в случае поверхности ранга 2 сечение будет центральным тогда и только тогда, когда плоскость его не параллельна особому направлению; наконец, поверхности ранга 1 вовсе не имеют центральных сечений. [18]
Для того чтобы плоское сечение поверхности второго порядка было центральным, необходимо и достаточно, чтобы плоскость сечения была параллельна двум, и только двум, различным асимптотическим направлениям. Таким образом, в случае центральной поверхности второго пор ка сечение будет центральным тогда и только тогда, когда параллельная ему плоскость, проходящая через центр, не является касательной плоскостью к асимптотическому конусу; в случае поверхности ранга 2 сечение будет центральным тогда и только тогда, когда плоскость его не параллельна особому направлению; наконец, поверхности ранга 1 вовсе не имеют центральных сечений. [19]
По определению двойной точки, каждая прямая, проходящая через такую точку, либо целиком содержится в поверхности, либо пересекает эту поверхность только в одной рассматриваемой точке. Обратно, если Л / 0 - вершина конической поверхностл второго порядка, то каждая прямая, проходящая через Ж0, либо целиком содержится в поверхности, либо имеет с этой псверх-ностью общей лишь точку Ж0; но это означает, что М0 - двойная точка. Но поверхность ранга 2 или 1 - обязательно распадающаяся. Действительно, она содержит по крайней мере одну прямую, состоящую из двойных точек. Согласно п 2 предыдущего параграфа, на / имеется по крайней мере одна точка М рассматриваемой поверхности. Прямые ММ, где М пробегает прямую /, будут целиком принадлежать поверхности, поскольку точки М - двойные. Поэтому поверхность будет содержать всю плоскость, проходящую через точку М и прямую /, и значит, по теореме, доказанной в п 1 предыдущего параграфа, будет распадающейся. Тем самым теорема полностью доказана. [20]
Как мы знаем, конус асимптотических направлений поверхности ранга 1 вырождается в пару совпадающих плоскостей. Если эта поверхность имеет хотя бы один центр, то она имеет целую плоскость центров, и это тогда - единственная ее диаметральная плоскость вообще, причем асимптотический конус есть дважды взятая эта плоскость. Рассмотрим теперь поверхности ранга 1, не имеющие центров. Мы утверждаем, что диаметральными плоскостями такой поверхности служат все плоскости, параллельные плоскости асимптотических направлений, и только такие плоскости. [21]
В самом деле, в силу результата, доказанного в п 5 § 175, эти диаметральные плоскости либо образуют собственный пучок, либо параллельны. В случае же поверхности ранга 2 плоскость центрального сечения, согласно теореме 1, не параллельна особому направлению; поэтому, как показано в п 4 § 175, диаметральные плоскости, сопряженные к направлениям, параллельным такой плоскости, обязательно пересекаются. Таким образом, эта прямая проходит через центры всех наших сечений. Но тогда каждая ее точка лежит в плоскости некоторого из этих сечений и служит по доказанному его центром. Тем самым прямая / и есть геометрическое место центров рассматриваемых сечений. [22]
Но в случае поверхностей ранга 1 все асимптотические направления-особые и тем самым автоматически обращают в нуль первые три члена в левой части последнего уравнения. Таким образом, для поверхностей ранга 1 направления XQ: YG: ZQ прямолинейных образующих определяются из системы уравнений ( 14), причем первые три из этих уравнений пропорциональны одному из них, скажем первому. [23]