Поверхность - единичная сфера
Cтраница 1
Поверхность единичной сферы, для которой требуется построить карту, может быть разделена на некоторое количество площадок, которые можно картографировать отдельно, используя приближение малого поля. Для всех них строятся двумерные карты на плоскостях, касающихся единичной сферы в разных точках. Эти точки касания являются фазовыми центрами отдельных площадок. Для каждой отдельной карты необходимо устанавливать и фазы функции видности, и координаты ( u v w) всей базы данных относительно своего фазового центра. Отдельные площадки могут быть объединены с использованием методов, аналогичных тем, которые применяются при мозаике, включая совместное восстановление. Этот подход назывался картографирование многогранников, потому что различные плоскости карт образуют часть поверхности многогранника. [1]
Точке Р, движущейся по поверхности единичной сферы, поставим в соответствие точку Q, движущуюся в плоскости. [2]
В формуле ( 68) интегрирование совершается по поверхности единичной сферы, и мы можем дифференцировать по xt под знаком интеграла. [3]
В формуле ( 68) интегрирование совершается по поверхности единичной сферы, и мы можем дифференцировать по xi под знаком интеграла. [4]
В формуле ( 68) интегрирование совершается по поверхности единичной сферы, и мы можем дифференцировать по xt под знаком интеграла. [5]
Вычеркивая dr и полагая г1, получаем элемент dvn площади поверхности единичной сферы. [6]
Выраж ение в скобках в правой части уравнения (11.29) определено только на поверхности единичной сферы п / 1 - / 2 - тп2, поскольку 5-функция не равна нулю только на этой сфере. Функция W, с которой она свернута, - это преобразование Фурье дискретизирующей функции, являющейся по сути трехмерной грязной диаграммой направленности. Свертка привносит эффект растяжения ( см. последнее выражение), в результате чего / з имеет конечную протяженность в радиальном направлении сферы. На рис. 11.8 а изображена единичная сфера с центром в начале координат ( /, т, п) - точке R. Заметим, что, поскольку /, m и п являются направляющими косинусами, то единичная сфера в координатах ( /, т, п) - это математическое понятие, а не сфера в реальном пространстве. [7]
Уто соотношение может быть интерпретировано как отождествляющее ( 5, v) с точкой на поверхности единичной сферы S3 в евклидовом 4-пространстее. Поскольку мы полагаем, что длина поворота IIТII принимает любое значение в интервале 0 IITII тг, а л есть любое направление в трехмерном пространстве, то параметры, ассоциированные с множеством поворотов, пробегают все точки сферы 53, и обратно. [8]
Умножим правую и левую части этого равенства на Р п ( cos 6) cos ( scp) и проинтегрируем по поверхности единичной сферы. [9]
Чтобы проиллюстрировать эти понятия, рассмотрим в качестве примера матрицы плотности чистого состояния для у 1; геометрической моделью является пара точек на поверхности единичной сферы в трехмерном пространстве. Для пары точек наиболее общей конфигурацией является пара точек, разделенных дугой длины Q ( с 0 Q тг) на поверхности сферы. Имеются следующие три слоя. [10]
 |
Поворот - это упорядоченная пара точек, показанная здесь геометрически как. [11] |
Имеем теперь нашу модель: простейшим объектом для описания вращений является поворот - половина направленной дуги вращения, параметризованной как упорядоченная пара точек на поверхности единичной сферы и определенной с точностью до переноса по большой окружности. [12]
Тогда и, v, w будут представлять составляющие малых смещений точек х, у, z тела, которые до деформации были расположены на поверхности единичной сферы. [13]
Здесь pv - ортогональное проектирование на проходящую через о гиперплоскость А ( и) с единичным вектором внешней нормали v, da - элемент площади поверхности единичной сферы дВ [ ( о); интеграл понимается в смысле Римана. [14]
Леви [304] показывает, что общее решение есть просто сумма всех элементарных решений, каждое из которых соответствует своему направлению в пространстве и взвешено в соответствии с некоторым распределением по поверхности единичной сферы. Вклады этих решений могут быть дискретными ( конечными или счетно бесконечными), либо бесконечно малыми. Для того, чтобы вектор X был изотропным, элементарные вклады должны быть распределены равномерно по всем направлениям. [15]
Страницы: 1 2