Cтраница 1
Поверхность удлинения, выражаемая уравнением ( 3), будет трехосный эллипсоид, когда три удлинения Е, Е, Ея, которые мы будем называть главными, имеют одинаковые знаки. Понятно, что в частных случаях поверхность удлинения может представить шар, цилиндр или две параллельные плоскости. [1]
Пусть вообразит читатель жидкую частицу и соответствующую ей поверхность удлинения, и он ясно представит себе внутреннее движение частицы, происходящее от удлинения радиусов, которое определяется поверхностью удлинения, и от течения радиусов по конусам внутренней девиации, ортогональным конусам равного удлинения; пусть он прибавит к внутреннему движению вращение частицы, и тогда он поймет причину, вследствие которой три или один радиус и соответствующие им плоскости станут неподвижны; он увидит, что вследствие этого прибавления характер движения частицы изменится: в случае трех неподвижных плоскостей она разделится на восемь частей, так что в каждом из косых трехгранных углов радиусы будут двигаться так же, как при внутреннем движении; если же существуют только одна неподвижная плоскость и линия, то все радиусы будут течь по спиралеобразным конусам, закручивающимся около неподвижной линии и подходящим к этой линии и соответствующей ей плоскости только после бесконечного числа оборотов. Таким образом, перед глазами читателя встанет отчетливая картина полного движения частицы относительно ее центра, что, на наш взгляд, всего дороже. [2]
Эти плоскости рассекают эллипсоид или однополый гиперболоид, соответствующий поверхности удлинения, по кругам. В случае Е1 г Е мы получаем конус равного удлинения, имеющий действительной осью Ег. Ел конус совпадает с осью деформации Е3, с возрастанием в он идет, расширяясь и сохраняя эту ось своей действительной осью: при з Е он распадается на две плоскости, проходящие через ось деформации Ez; после этого он располагается около оси деформации Е1 и идет, суживаясь, пока не сольется с этой осью. [3]
Формула ( 10) показывает, что девиация равна удлинению, умноженному на тангенс угла между радиусом-вектором и соответствующей нормалью к поверхности удлинения. Таким образом поверхность удлинения, давая нам наглядное изображение удлинения каждого центрального радиуса, дает одновременно и полное представление о его девиации. [4]
Эту линию называют характеристикой плоскости, соответствующей нормали г; она лежит в пересечении этой плоскости с плоскостью, сопряженной нормали г относительно поверхности удлинения. [5]
Проводим через центр частицы оси координат Ох, Оу, ( К, из которых две первые направлены по осям сечения не изменяющей направления плоскости с поверхностью удлинения, а последняя по соответствующей плоскости Оху не цзменяющей направления линии, и назовем через u, v, w скорости точек частицы по этим осям, а через г и о удлинение и девиацию радиуса в плоскости Оху. [6]
Пусть вообразит читатель жидкую частицу и соответствующую ей поверхность удлинения, и он ясно представит себе внутреннее движение частицы, происходящее от удлинения радиусов, которое определяется поверхностью удлинения, и от течения радиусов по конусам внутренней девиации, ортогональным конусам равного удлинения; пусть он прибавит к внутреннему движению вращение частицы, и тогда он поймет причину, вследствие которой три или один радиус и соответствующие им плоскости станут неподвижны; он увидит, что вследствие этого прибавления характер движения частицы изменится: в случае трех неподвижных плоскостей она разделится на восемь частей, так что в каждом из косых трехгранных углов радиусы будут двигаться так же, как при внутреннем движении; если же существуют только одна неподвижная плоскость и линия, то все радиусы будут течь по спиралеобразным конусам, закручивающимся около неподвижной линии и подходящим к этой линии и соответствующей ей плоскости только после бесконечного числа оборотов. Таким образом, перед глазами читателя встанет отчетливая картина полного движения частицы относительно ее центра, что, на наш взгляд, всего дороже. [7]
Переходя к девиации вдоль плоскости, замечаем, что на основании § 5 все внутреннее движение точек частицы в плоскости вполне определяется по кривой сечения этой плоскоеи с поверхностью удлинения. [8]
F, объясняет кинематическое шпчепие внутреннего движения, так как от чтоп причины cBoi n - тва его могут быть исследованы полно п просто и являются, по большей части, следствием простых геометрических теорем о поверхности удлинения. [9]
Формула ( 10) показывает, что девиация равна удлинению, умноженному на тангенс угла между радиусом-вектором и соответствующей нормалью к поверхности удлинения. Таким образом поверхность удлинения, давая нам наглядное изображение удлинения каждого центрального радиуса, дает одновременно и полное представление о его девиации. [10]
Это дает теорему Коши): линейные удлинения частицы по различным направлениям обратно пропорциональны квадрат / / центрального радиуса-вектора некоторой поверхности второю порядка. Эта поверхность, которую называют поверхностью удлинения, играет почти единственную роль в теории изменения жидкой частицы, различные свойства движения которой связаны более или менее тесно со свойствами этой поверхности. [11]
Поверхность удлинения, выражаемая уравнением ( 3), будет трехосный эллипсоид, когда три удлинения Е, Е, Ея, которые мы будем называть главными, имеют одинаковые знаки. Понятно, что в частных случаях поверхность удлинения может представить шар, цилиндр или две параллельные плоскости. [12]
Это показывает, что нормаль и ее характеристика суть две линии взаимные. Так как характеристика перпендикулярна к нормали и лежит в ее сопряженной плоскости, то сечение поверхности удлинения через нормаль и ее характеристику имеет эти две линии своими главными осями. Понятно, что характеристика плоскости есть ось ее вращения. [13]
В последнем соотношении a, p, - углы между сопряженными диаметрами. Все радиусы-векторы, имеющие равные удлинения, должны лежать на конусе, вершина которого есть центр поверхности удлинения, а основание - пересечение этой поверхности с шаром. [14]
Ось вращения, как в предыдущей задаче, есть пересечение двух плоскостей, касательных к конусам постоянного удлинения, на которых лежат данные линии. Чтобы найти две другие не изменяющие направления линии, пользуемся началом, на котором основано вышеприведенное построение конуса постоянных направлений. Для этого строим поверхность удлинения и концентрическую с ней сферу, проходящую через точку, в которой ось вращения пересекает поверхность удлинения, и проводим через эту точку плоскость, перпендикулярную к данной нормали; плоскость пересечет поверхность удлинения по кривой второго порядка, а сферу - по кругу; из четырех точек А, В, С, D пересечения этих линий точка А будет лежать на оси вращения, точка В будет обладать тем свойством, что хорда АВ параллельна характеристике данной нормали, точки же С и D дадут нам хорды СА и CD, параллельные искомым не изменяющим направления линиям. [15]