Cтраница 2
Пскомое нами условие будет удовлетворено, когда оси указателышцы струйки во всяком сечении будут совпадать с проекциями на это сечение осей бесконечно близкой указательницы. Это условие может быть выражено проще. Так как проекции главных осей центрального сечения поверхности удлинения на плоскость деформации делают с осями деформации бесконечно малые углы второго порядка, когда плоскость сечения наклонена к плоскости деформации под бесконечно малым углом первого порядка, то вместо того, чтобы брать оси бесконечно близкой указательницы, можно взять оси бесконечно близкой площади, параллельной первому сечению. [16]
Движение точек частицы параллельно плоскости, не изменяющей направления, определяется по движению точек, лежащих в этой плоскости. Разлагаем это последнее движение на удлинение радиуса и девиацию. Удлинение радиуса будет зависеть от кривой сечения, по которой не изменяющая направления плоскость пересечет поверхность удлинения, а девиация сложится из внутренней девиации радиуса в этой плоскости и из угловой скорости, равной проложению скорости вращения частицы на нормаль к плоскости, не изменяющей направления. Если наибольшая внутренняя девиация радиуса в не изменяющей направления-плоскости будет менее проложения вращения частицы на нормаль к этой плоскости, то мы будем иметь только одну не изменяющую направления плоскость и одну не изменяющую направления линию; в противном случае два радиуса, лежащие в данной не изменяющей направления плоскости и имеющие девиации, равные угловой скорости вращения частицы около нормали к плоскости, но направленные в сторону, обратную этому вращению, будут две новые не изменяющие направлений линии. По § 9 эти не изменяющие направления линии должны лежать обе в одном и том же прямом углу, образуемом главными осями сечения не изменяющей направления плоскости с поверхностью удлинения, и должны быть равно наклонены к биссектору этого угла. [17]
Ось вращения, как в предыдущей задаче, есть пересечение двух плоскостей, касательных к конусам постоянного удлинения, на которых лежат данные линии. Чтобы найти две другие не изменяющие направления линии, пользуемся началом, на котором основано вышеприведенное построение конуса постоянных направлений. Для этого строим поверхность удлинения и концентрическую с ней сферу, проходящую через точку, в которой ось вращения пересекает поверхность удлинения, и проводим через эту точку плоскость, перпендикулярную к данной нормали; плоскость пересечет поверхность удлинения по кривой второго порядка, а сферу - по кругу; из четырех точек А, В, С, D пересечения этих линий точка А будет лежать на оси вращения, точка В будет обладать тем свойством, что хорда АВ параллельна характеристике данной нормали, точки же С и D дадут нам хорды СА и CD, параллельные искомым не изменяющим направления линиям. [18]
Ось вращения, как в предыдущей задаче, есть пересечение двух плоскостей, касательных к конусам постоянного удлинения, на которых лежат данные линии. Чтобы найти две другие не изменяющие направления линии, пользуемся началом, на котором основано вышеприведенное построение конуса постоянных направлений. Для этого строим поверхность удлинения и концентрическую с ней сферу, проходящую через точку, в которой ось вращения пересекает поверхность удлинения, и проводим через эту точку плоскость, перпендикулярную к данной нормали; плоскость пересечет поверхность удлинения по кривой второго порядка, а сферу - по кругу; из четырех точек А, В, С, D пересечения этих линий точка А будет лежать на оси вращения, точка В будет обладать тем свойством, что хорда АВ параллельна характеристике данной нормали, точки же С и D дадут нам хорды СА и CD, параллельные искомым не изменяющим направления линиям. [19]
Посмотрим теперь, какая связь существует между образующими конуса постоянных направлений и плоскостью, проходящей через ось вращения. Из уравнений ( 16) и ( 5) прямо видим, что плоскость, проходящая через ось вращения, рассекает конус еще по двум образующим, в которых она соприкасается с соответственными конусами равного удлинения. Эта теорема показывает, что конус постоянных направлений можно рассматривать как место образующих, по которым различные плоскости, проходящие через ось вращения, соприкасаются с конусами равного удлинения. Так как на основании сказанного плоскость, проходящая через ось вращения, рассекает конус постоянных направлений по двум радиусам, имеющим наибольшее и наименьшее удлинения во всей плоскости, то эти радиусы будут главными осями сечения плоскости с поверхностью удлинения. Отсюда следует, что плоскость, проходящая через ось вращения, рассекает конце постоянною направления по двум образующим, которые суть взаимные характеристики. [20]
Движение точек частицы параллельно плоскости, не изменяющей направления, определяется по движению точек, лежащих в этой плоскости. Разлагаем это последнее движение на удлинение радиуса и девиацию. Удлинение радиуса будет зависеть от кривой сечения, по которой не изменяющая направления плоскость пересечет поверхность удлинения, а девиация сложится из внутренней девиации радиуса в этой плоскости и из угловой скорости, равной проложению скорости вращения частицы на нормаль к плоскости, не изменяющей направления. Если наибольшая внутренняя девиация радиуса в не изменяющей направления-плоскости будет менее проложения вращения частицы на нормаль к этой плоскости, то мы будем иметь только одну не изменяющую направления плоскость и одну не изменяющую направления линию; в противном случае два радиуса, лежащие в данной не изменяющей направления плоскости и имеющие девиации, равные угловой скорости вращения частицы около нормали к плоскости, но направленные в сторону, обратную этому вращению, будут две новые не изменяющие направлений линии. По § 9 эти не изменяющие направления линии должны лежать обе в одном и том же прямом углу, образуемом главными осями сечения не изменяющей направления плоскости с поверхностью удлинения, и должны быть равно наклонены к биссектору этого угла. [21]