Cтраница 3
Полученное соотношение мало что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат, или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений. В данном случае это означает, что в каждой точке напряженного тела существует такая система Oxyz, в которой касательные напряжения ryz, TZX итху равны нулю. Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главньши площадками, анормальные напряжения на них - главными напряжениями. [31]
Полученное соотношение мало что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат, или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений. В данном случае это значит, что в каждой точке напряженного тела существует такая система осей х, у, г, в которой касательные напряжения т г, т2ж и txy равны нулю. Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них - главными напряжениями. [32]
Полученное соотношение мало что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат, или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений. В данном случае это значит, что в каждой точке напряженного тела существует такая система осей х, у, г, в которой касательные напряжения % yz, xzx и тху равны нулю. Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них - главными напряжениями. В порядке возрастания эти напряжения обозначаются через сг3, т2 и аг. [33]
Вставляя в уравнение (5.5) корни As и считая, г, 5 текущими координатами, будем получать уравнения центральных поверхностей второго порядка: при X Л4 - уравнение эллипсоида, при К Х2 - уравнение однополостного гиперболоида и при X Аз - уравнение двухполостного гиперболоида. [34]
Докажем теперь следующую теорему Сильвестра ( Sylvester), которой нам придется впоследствии воспользоваться: если на нормалях к центральной поверхности второго порядка (48.21), проведенных в точках полодии, отложить равные длины, то концы отложенных отрезков будут лежать на новой полодии, принадлежащей другой центральной поверхности второго порядка; эта последняя софокусна с поверхностью, гомотетичной с первоначальной, и встречает построенные нормали ортогонально. [35]
Нетрудно убедиться, что функция Ф, являясь однородным многочленом второй степени относительно координат х, yi, Zi, представляет собой центральную поверхность второго порядка с центром в начале координат-эллипсоид, называемый эллипсоидом деформации. Известно, что если оси координат xi, z / i, z направить вдоль осей эллипсоида деформации, то члены, содержащие произведения разноименных координат, уничтожатся. Оси эллипсоида в этом случае называются главными осями, деформации. [36]
Когда имеет постоянное значение, а х, у, г представляют собой текущие координаты, то это равенство служит уравнением некоторой центральной поверхности второго порядка. Если же дадим х, у, г какие-либо постоянные значения, то оно обращается в кубичное уравнение относительно, имеющее, как сейчас убедимся, три действительных корня. [37]
Главные деформации e lt ег и е3 экстремальны, так как они обратно пропорциональны квадратам полуосей поверхности деформаций, а последние в центральных поверхностях второго порядка обладают экстремальными свойствами. Возможные случаи поверхности деформаций аналогичны таковым в теории напряжений. Таким образом, деформацию в окрестности любой точки можно представить как растяжение ( сжатие) в трех взаимно ортогональных ( главных) направлениях. [38]
Это уравнение представляет соотношение между длинами трех главных ocel и указывает, что, если жидкость несжимаема, то поверхностями деформаций могу, быть только центральные поверхности второго порядка одного определенного класса, именно, так называемые ортогональные гиперболоиды. [39]
Докажем теперь следующую теорему Сильвестра ( Sylvester), которой нам придется впоследствии воспользоваться: если на нормалях к центральной поверхности второго порядка (48.21), проведенных в точках полодии, отложить равные длины, то концы отложенных отрезков будут лежать на новой полодии, принадлежащей другой центральной поверхности второго порядка; эта последняя софокусна с поверхностью, гомотетичной с первоначальной, и встречает построенные нормали ортогонально. [40]
Эта поверхность называется поверхностью деформации. Поверхность эта есть центральная поверхность второго порядка. Если она - эллипсоид, то все линейные элементы испытывают растяжение. Если же она есть гиперболоид, то мы будем иметь одни линейные элементы растянутыми, между тем как другие, соответствующие сопряженному гиперболоиду, будут сжатыми. [41]
Согласно сказанному выше, все диаметры центральной поверхности второго порядка проходят через ее центр. Покажем теперь, что если поверхность - центральная, то каждая прямая неасимптотического направления, проходящая через центр, является диаметром, и притом сопряженным к наклону той диаметральной плоскости, которая сопряжена к направлению этой прямой. [42]
УО - г0) симметричной с точкой ( XQ, у0 о) относительно центра. Отсюда заключаем, что плоскости, касающиеся неконической центральной поверхности второго порядка в двух диаметрально противоположных точках параллельны ] это, впрочем, верно и для конической поверхности: тогда указанные касательные скости просто совпадают. [43]
Поэтому, согласно п б § 175, плоскость ( 13) сечет конус ( 5) по паре различных образующих. Тем самым мы доказали, что через каждую точку неконической центральной поверхности второго порядка проходят две - и только две) различные прямолинейные образующие ] касательная плоскость, проведенная к поверхности в этой точке, есть плоскость, проходящая через указанные образующие. [44]
Согласно п 2 настоящего параграфа и п 6 § 175, каждое центральное плоское сечение центральной поверхности второго порядка параллельно диаметральной плоскости, сопряженной к некоторому неасимптотическому направлению. Поэтому из только что доказанного предложения следует, что каждый диаметр центральной поверхности второго порядка имеет неасимптотическое направление. [45]