Cтраница 1
Линейчатая поверхность второго порядка в общем случае вполне определяется тремя прямыми; поэтому возьмем сначала в качестве исходной поверхности линейчатую поверхность. Заданная прямолинейная образующая и две близких образующих определяют квадрику, имеющую предел L, когда две последние образующие стремятся к заданной. Вторая система прямолинейных образующих квадрики L состоит из прямых, встречающих три бесконечно близких образующих исходной поверхности. [1]
Выше были рассмотрены линейчатые поверхности второго порядка: цилиндр, конус, гиперболический параболоид и однополостныи гиперболоид. Теперь рассмотрим остальные поверхности второго порядка, нелинейчатые: эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид. [2]
Выше были рассмотрены линейчатые поверхности второго порядка: цилиндр, конус, гиперболический параболоид и однополостный гиперболоид. Теперь рассмотрим остальные поверхности второго порядка, нелинейчатые: эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид. [3]
Возвращаясь к вопросу об образующих линейчатой поверхности второго порядка, можем показать, что любые две образующие одной и той же серии могут быть приняты за оси проективных пучков плоскостей, определяющих данную линейчатую поверхность. [4]
С точки зрения аффинных свойств линейчатых поверхностей второго порядка последние могут быть разбиты на два класса. Те поверхности, для которых несобственная плоскость является секущей, называются однополости ы ми гиперболоидами ( черт. Те же поверхности, которые касаются несобственной плоскости, называются гиперболическими параболоидами ( черт. [5]
Таким образом, получили известное свойство линейчатых поверхностей второго порядка: линейчатая поверхность второго порядка содержит два семейства действительных прямолинейных образующих, при этом образующие одного семейства между собой i e пересекаются, но каждая образующая одного семейства пересекает нее обра зующие другого семейства. Последняя часть уторждсния справедлива ночо-му, чти Р плоскости 1 каждая прям. [6]
Первые три варианта возможны лишь при пересечении линейчатых поверхностей второго порядка, так как в состав их линии пересечения входят прямые. Первый вариант получается, если пересекающиеся поверхности второго порядка имеют одну общую образующую. [7]
Благодаря большому принципу двойственности возможно изучение так называемых линейчатых поверхностей второго порядка посредством изучения плоских пучков второго порядка. Действительно, пучки второго порядка построены на проективных точечных рядах. Но каждый ряд точек на прямой соответствует пучку плоскостей. Соответственные плоскости двух проективных пучков пересекаются по прямым, которые и являются образующими линейчатых поверхностей. [8]
Но оказывается, что кроме конусов и цилиндров линейчатыми поверхностями второго порядка являются еще однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Этот факт на взгляд не очевиден, однако легко доказывается алгебраически. [9]
Но оказывается, что кроме конусов и цилиндров линейчатыми поверхностями второго порядка являются еще однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Этот факт на взгляд не очевиден, однако легко доказывается алгебраически. [10]
Кривая с3 может быть получена в результате пересечения двух линейчатых поверхностей второго порядка с общей образующей, если вдоль этой образующей они не касаются. [11]
Мы уже видели, что произвольная плоскость со пересекает линейчатую поверхность второго порядка по кривой второго порядка. Следовательно, кривая второго порядка распадается в этом случае на пару прямых. Плоскость со называется в этом случае касательной плоскостью. [12]
Следовательно, имеем два проективных пучка плоскостей, которые образуют линейчатую поверхность второго порядка. [13]
Таким образом, получили известное свойство линейчатых поверхностей второго порядка: линейчатая поверхность второго порядка содержит два семейства действительных прямолинейных образующих, при этом образующие одного семейства между собой i e пересекаются, но каждая образующая одного семейства пересекает нее обра зующие другого семейства. Последняя часть уторждсния справедлива ночо-му, чти Р плоскости 1 каждая прям. [14]
Однако это не означает, что однополостными гиперболоидами и гиперболическими параболоидами исчерпываются все линейчатые поверхности второго порядка. Линейчатые поверхности второго порядка, не являющиеся ни гиперболоидами, ни параболоидами, мы изучим в следующих пунктах. [15]