Cтраница 2
Используя приведенные результаты, мы можем доказать следующие теоремы о распределении значений гауссова отображения полной минимальной поверхности в Rm с конечной полной кривизной. [16]
Мы можем применить модифицированные соотношения дефектов, полученные в предыдущем параграфе, к изучению гауссова отображения полной минимальной поверхности в IRm, возможно с точками ветвления. Как нетрудно усмотреть из теоремы 2.3, х: М - S - W71 является регулярной минимальной поверхностью в ffi. В этом параграфе термин минимальная поверхность будет означать минимальная поверхность с точками ветвления, если только не оговорено противное. [17]
Чена-Гакштаттера [11], с помощью которой строится поверхность рода 1, обладающая симметриями и асимптотическим поведением конца, как у поверхности Эннепера. Эта полная минимальная поверхность конечной полной кривизны является первым примером, явно построенным с использованием геометрического свойства ( в данном случае - асимптотического поведения конца), которое обеспечивает необходимые данные Вейерштрасса. В предложениях 2.3, 2.4 и 2.5 собраны все необходимые условия, включая взаимосвязь между потоком, логарифмическим ростом концов и вычетами комплексного дифференциала функции высоты. [18]
Приведем некоторые необходимые условия того, что классическое гауссово отображение полной минимальной поверхности с конечной полной кривизной в R3 выпускает три различных значения. Пусть М - неплоская полная минимальная поверхность в R3 с конечной полной кривизной, гауссово отображение g которой выпускает три значения. [19]
Он показал, что гауссово отображение конца полной минимальной поверхности в М3, конформно эквивалентного круговому кольцу z: 1 / r z г ( г 0), обязано принимать каждое значение бесконечно много раз, за возможным исключением не более четырех значений. [20]
Это непосредственно вытекает из того, что расширенное гауссово отображение этих поверхностей ( рода нуль) является конформным диффеоморфизмом на сферу. Оссерман [61,62] доказал, что катеноид и поверхность Эннепера являются единственными полными минимальными поверхностями, обладающими указанным свойством. Естественно поставить вопрос, характеризует ли индекс 1 эти поверхности среди всех полных минимальных поверхностей с конечной полной кривизной. [21]
Далее будут представлены некоторые недавно полученные результаты, касающиеся свойств гауссова отображения полной минимальной поверхности в Rm, определенной на римановой поверхности с параболическим исчерпанием, аналогичных свойствам распределения значений; основное внимание уделяется поверхностям с конечной полной кривизной. В последней главе дается обзор недавних результатов о глобальных свойствах гауссова отображения полных минимальных поверхностей в Rm с бесконечной полной кривизной. [22]
С точки зрения представления Вейерштрасса поверхности М в R3 она является сопряженной к катеноиду. В С С ( 0) данные g ( z) z, UJT ( Z) егг dz / z2 определяют полную минимальную поверхность Мт для каждого действительного т при т - 0 это будет катеноид, а при т - тг / 2 -геликоид. При 0 т тг / 2 поверхности Мт не являются вложенными, однако каждая из них имеет два кольцевых конца, которые уже будут вложенными. Каждый конец является концом геликоидно-катпеноидного типа. Пересечение поверхности Мт с большим вертикальным цилиндром радиуса Д, ось которого совпадает с осью хз, состоит из двух спиральных линий. [23]
Это непосредственно вытекает из того, что расширенное гауссово отображение этих поверхностей ( рода нуль) является конформным диффеоморфизмом на сферу. Оссерман [61,62] доказал, что катеноид и поверхность Эннепера являются единственными полными минимальными поверхностями, обладающими указанным свойством. Естественно поставить вопрос, характеризует ли индекс 1 эти поверхности среди всех полных минимальных поверхностей с конечной полной кривизной. [24]
Он предлагал рассматривать теорему по большей части в геометрических терминах, где поверхности трактуются не как графики решений дифференциального уравнения, а как поверхности с нулевой средней кривизной; при этом пред пол ожение о том, что поверхность проектируется на всю плоскость, заменяется парой предположений о том, что поверхность является полной и множество значений гауссова отображения выпускает окрестность некоторой точки. В этих терминах результат напоминает теорему Вейерштрас-са, утверждающую, что значения целой непостоянной функции должны быть всюду плотны. Это привело Ниренберга ко второй гипотезе о том, что имеется аналог теоремы Пикара для минимальных поверхностей: если гауссово отображение полной минимальной поверхности выпускает более двух значений, то оно должно быть постоянным, а сама минимальная поверхность должна быть плоскостью. Оказалось, что первая гипотеза верна, а вторая нет. Однако именно формулировка Ниренберга сыграла решающую роль в последующих исследованиях, поскольку она привела к созданию совершенно новой теории полных минимальных поверхностей, сначала в размерности 3, а затем и в случае произвольных коразмерностей. [25]
Он предлагал рассматривать теорему по большей части в геометрических терминах, где поверхности трактуются не как графики решений дифференциального уравнения, а как поверхности с нулевой средней кривизной; при этом пред пол ожение о том, что поверхность проектируется на всю плоскость, заменяется парой предположений о том, что поверхность является полной и множество значений гауссова отображения выпускает окрестность некоторой точки. В этих терминах результат напоминает теорему Вейерштрас-са, утверждающую, что значения целой непостоянной функции должны быть всюду плотны. Это привело Ниренберга ко второй гипотезе о том, что имеется аналог теоремы Пикара для минимальных поверхностей: если гауссово отображение полной минимальной поверхности выпускает более двух значений, то оно должно быть постоянным, а сама минимальная поверхность должна быть плоскостью. Оказалось, что первая гипотеза верна, а вторая нет. Однако именно формулировка Ниренберга сыграла решающую роль в последующих исследованиях, поскольку она привела к созданию совершенно новой теории полных минимальных поверхностей, сначала в размерности 3, а затем и в случае произвольных коразмерностей. [26]