Cтраница 3
Эти величины, следовательно, могут служить мерой искривленности границы области, занятой турбулентной жидкостью. Из (1.4) видно, что yfn ynt - 0 при r / L - О ( Dyy - 0), т.е. границы турбулентной жидкости искривлены не слишком сильно. Количественную меру этих искривлений удобно дать позже ( см. § 3.1 и 3.8) при обсуждении вопроса о площади изоскалярных поверхностей в турбулентных потоках. [31]
Выход из положения основан на сочетании статистического и детерминированного методов описания. Такой подход основан на переходе в систему координат, связанную с изоскалярной поверхностью, вблизи которой расположена зона реакции. Зона реакций рассматривается как очень тонкий плоский пограничный слой, что позволяет детерминированным образом связать между собой параметры, описывающие гидродинамические и химические процессы. Характеристики изоскалярной поверхности описываются статистическим образом. [32]
Таким образом, характер поведения изоскалярных поверхностей в турбулентных потоках позволяет провести вполне определенную аналогию с перемежаемостью, а точнее, с ее качественным описанием, данным в § 1.1. Действительно, если под колебаниями предельных изоскалярных поверхностей иметь в виду внешнюю перемежаемость, а под колебаниями внутренних изоскалярных поверхностей - внутреннюю перемежаемость, то получится наглядная физическая модель турбулентной жидкости, близкая к образу губки, предложенному в § 1.1. Описанная модель турбулентной жидкости делает весьма прозрачным и смысл процедуры осреднения, с помощью которой в § 1.1 определялась граница турбулентной жидкости и тем самым выделялась внешняя перемежаемость. Связь оценки искривленности предельных изоскалярных поверхностей с указанным условием достаточно очевидна. [33]
Из соотношений (3.105) и (3.106) видно, что среднее расстояние между изоскалярными поверхностями монотонно возрастает. В то же время при D 0, согласно выражению в (3.104), это расстояние монотонно убывает. При D Ф 0 на начальном этапе вырождения средняя площадь любой изоскалярной поверхности возрастает. На конечном этапе средние площади всех изоскалярных поверхностей, за исключением поверхности z ( z, уменьшаются. Средняя площадь поверхности z z всегда со временем увеличивается. [34]
Кратко остановимся на обсуждении этого примера. На рис. 3.22, заимствованном из работы Мандельброта, изображена комбинация из двух многоугольников ( полигонов) с очень большим числом сторон. Эта комбинация представляет собой некоторый промежуточный шаг в бесконечной процедуре, когда один из полигонов интенсивно искривляется вокруг себя ( аналогично тому, как это делается при построении кривой, заполняющей плоскость), а второй окаймляет первый. Такие полигоны можно рассматривать как некоторые образы изоскалярных поверхностей. Один из полигонов ( внешний) соответствует границе турбулентной жидкости, внутренний - некоторой изо-скалярной поверхности, расположенной в турбулентной жидкости. Искривления полигонов соответствуют гидродинамическим деформациям. Дальнейшие подробности построения описаны в рассматриваемой работе. Поскольку на каждом шаге конструкции периметры обоих полигонов умножаются на число, большее единицы, то длины соответствующих предельных кривых равны бесконечности. Но оказывается, что степень заполнения плоскости первым многоугольникам больше, чем степень изогнутости второго. Вычисления, проведенные Мандельбротом, дают количественную характеристику этого утверждения. Рассмотренный пример, естественно, носит частный характер. [35]
Из формул (3.103), (3.104) видно, что в обоих случаях влияние числа Реинольдса качественно одинаково. Объяснение этого различия основано на следующих соображениях. При D 0 изоскалярная поверхность состоит из одних и тех же жидких частиц. Если же D Ф 0, то частицы, принадлежащие изоскалярной поверхности, гибнут, т.е. молекулярная диффузия сглаживает складки, возникающие на такой поверхности. [36]
Из соотношений (3.105) и (3.106) видно, что среднее расстояние между изоскалярными поверхностями монотонно возрастает. В то же время при D 0, согласно выражению в (3.104), это расстояние монотонно убывает. При D Ф 0 на начальном этапе вырождения средняя площадь любой изоскалярной поверхности возрастает. На конечном этапе средние площади всех изоскалярных поверхностей, за исключением поверхности z ( z, уменьшаются. Средняя площадь поверхности z z всегда со временем увеличивается. Заметим, что формулы (3.104) приближенно справедливы и при D Ф 0 до тех пор, пока эффекты молекулярной диффузии не начнут играть заметной роли, и уже нельзя будет пренебречь процессом гибели отдельных жидких частиц на изоскалярной поверхности. [37]
В данной главе рассматривается уравнение для плотности вероятностей концентрации динамически пассивной примеси. Здесь подробно обсуждаются гипотезы, используемые для замыкания этого уравнения. Анализируются решения замкнутого уравнения в случае статистически однородного поля концентрации и в свободных турбулентных течениях. В главе преследуются три основные цели. Первая является чисто практической и заключается в том, чтобы дать простой приближенный метод определения распределения вероятностей концентрации и коэффициента перемежаемости в струях. Эта задача решается по возможности без сложных математических выкладок. Вторая цель - исследовать математические свойства уравнения для плотности вероятностей концентрации, сформулировать краевую задачу и показать, что из условия разрешимости этой краевой задачи вытекают дополнительные связи между заранее не известными функциями, входящими в замыкающие соотношения. Этот результат имеет принципиальное значение, так как из него следует, что развиваемый подход позволяет сократить количество произвольных функций по сравнению с обычными полуэмпирическими теориями для одноточечных моментов. Не исключено, что новые пути построения замкнутой теории турбулентности будут связаны с совершенствованием этого подхода. Такое исследование позволяет, во-первых, предложить дополнительный способ получения граничных условий для плотности вероятностей концентрации и выявить их физический смысл и, во-вторых, проследить взаимосвязь между перемежаемостью и структурой изоскалярных поверхностей. [38]