Cтраница 2
Как видно из только что приведенных выкладок, аналогичное явление имеет место и при гиперболическом повороте. [16]
В силу леммы предыдущего параграфа, всякая плоскость первого рода может быть с помощью некоторого гиперболического поворота, преобразующего поверхности ( 1) в себя, сделана перпендикулярной к оси асимптотического конуса этого семейства. [17]
Так, при тригонометрическом повороте в плоскости ху инвариантна функция х2 у2, описывающая квадрат длины, при гиперболическом повороте в плоскости ет инвариантна функция т2 - г3, которая от личается от квадрата длины тем, что здесь т2 и г2 входят с противоположными знаками, тогда как х2 и у3 имели один и тот же знак. [18]
Фазовый поток уравнения малых колебаний перевернутого маятника ( х - х 2, х 2 - х ] состоит из гиперболических поворотов. [19]
Аффинное преобразование пространства, состоящее в сжатии к плоскости и сжатии с обратным коэффициентом к перпендикулярной к ней плоскости, мы будем называть прямым гиперболическим поворотом пространства относительно этой пары плоскостей ] линию пересечения плоскостей мы будем называть осью гиперболического поворота. [20]
Аффинное преобразование пространства, состоящее в сжатии к плоскости и сжатии с обратным коэффициентом к перпендикулярной к ней плоскости, мы будем называть прямым гиперболическим поворотом пространства относительно этой пары плоскостей ] линию пересечения плоскостей мы будем называть осью гиперболического поворота. [21]
Соединяя полученные результаты, мы приходим к следующему предложению: всякое эквиаффинное преобразование первого рода, переводящее равносторонний гиперболический параболоид ( 2) в себя, может быть представлено в виде произведения следующих преобразований: тождественного преобразования, либо поворота на 180 вокруг оси z, прямой у - х или прямой у - х далее, прямого гиперболического поворота вокруг оси zt преобразующего последние две прямые в себя; наконец, двух прямых параболических поворотов, параллельных плоскостям xz и yz и преобразующих параболоид ( 2) в себя. Из проведенных рассуждений легко усмотреть, что это представление однозначно. [22]
Пусть на плоскости задана произвольная геометрическая фигура W. Гиперболический поворот Н6 переводит ее в некоторую новую фигуру W. По определению считают, что фигуры W и Wr конгруэнтны в метрике Минковского. Простейший пример показан на рис. 52, где фигура и ее образ обозначены W и W и показаны штриховкой. [23]
Плоскость Юг пересекает конус по паре диаметрально противоположных образующих 11 и / 2, а асимптотические к нему гиперболоиды ( 1) - по гиперболам, для которых / j и / 2 служат асимптотами ( черт. Юг гиперболический поворот, преобразующий указанные гиперболы в себя. [24]
Напомним, что группа ортогональных преобразований евклидовой плоскости состоит из двух связных компонент. Группа гиперболических поворотов устроена более сложно: она состоит из четырех компонент связности. [25]
Симметричная точка М ( и v - 1) также лежит на гиперболе. Далее, легко проверить, что гиперболический поворот Ф переводит точки решетки снова в точки решетки. Действительно, так как Mt - точка решетки, то t % y Y & Vl Xi - yiY &. [26]
Легко видеть, что и обратно, каждая плоскость, отсекающая от асимптотического конуса этот объем, пересекает конус по эллипсу, центр которого лежит на рассматриваемом двуполом гиперболоиде. Действительно, эта плоскость может быть с помощью некоторого гиперболического поворота сделана перпендикулярной к оси вращения. При этом вследствие равенства отсекаемых объемов эта плоскость совпадет с плоскостью, проходящей через соответствующую вершину перпендикулярно к оси, и, значит, центр сечения совпадет с этой вершиной. Но тогда обратный гиперболиче ский поворот, возвращающий его в центр исходного эллипса, оставит его, вместе с тем, на поле того же гиперболоида. [27]
Действительно, достаточно доказать справедливость этого предложения для равносторонних гиперболоидов вращения. Для них каждая диаметральная плоскость первого рода может быть получена с помощью некоторого гиперболического поворота из диаметральной плоскости, перпендикулярной к оси вращения, а каждая диаметральная плоскость второго рода - из диаметральной плоскости, проходящей через ось вращения. Но диаметральная плоскость равностороннего гиперболоида вращения, перпендикулярная к его оси вращения, и эта ось взаимно сопряжены, и точно так же диаметральная плоскость, проходящая через ос вращения, и диаметр, перпендикулярный к этой плоскости, взаимно сопряжены. Отсюда и следует наше утверждение, так как сопряженность диаметра и диаметральной плоскости сохраняется при гиперболическом повороте, как и при любом вообще аффинном преобразовании. [28]
Рассмотрим теперь плоскости второго рода, причем опять сначала для случая равносторонних гиперболоидов вращения. В силу леммы предыдущего параграфа, всякая такая плоскость может быть с помощью некоторого гиперболического поворота сделана параллельной оси вращения гиперболоидов. [29]
Мы видим, что формулы преобразования (27.4) отличаются от формул преобразования поворота (27.1) прежде всего заменой тригонометрических функций cos a и sin а на гиперболические функции ch p и sh p и, кроме того, отрицательным знаком при обоих sh р, тогда как в преобразовании (27.1) при одном из sin а стоит знак плюс, а при другом - минус. Тем не менее аналогия с преобразованием поворота является очень заметной, поэтому преобразование (27.4) называется гиперболическим поворотом. [30]