Cтраница 3
Легко видеть, что функция (27.6) является обобщением функции (11.3), описывающей квадрат длины, которой пользуются в обычном трехмерном пространстве. Выражение (27.6) применимо, однако, и в пространстве н во времени, так как координата т подвергается преобразованию Лоренца, являющемуся гиперболическим поворотом, а не обычным. [31]
Этот результат вытекает, например, из теоремы Гробмана - Хартмана, согласно которой в малой окрестности точки xi отображение д топологически сопряжено линейному гиперболическому повороту. [32]
Диаметральные плоскости ху, yz и zx гиперболоида ( 1) обладают тем свойством, что каждая из них сопряжена к линии пересечения двух других. При гиперболических поворотах, преобразующих гиперболоиды ( 1) в себя, плоскости ху, yz и zx переходят снова в сопряженные тройки диаметральных плоскостей. [33]
Преобразование Лоренца, очевидно, оказывается теперь растяжением вдоль мировой линии одного светового луча в е раз, а вдоль мировой линии другого луча - сжатием во столько же раз ( растяжением в е - Р) раз. Если взять какой-нибудь элемент площади для пространства-времени, то ясно, что при таком преобразовании этот элемент подвергнется некоему сплющиванию с осями сплющивания, соответствующими мировым линиям двух световых лучей. Так, вместо истинного ( или тригонометрического) поворота пространственно-временное преобразование приводит к гиперболическому повороту, в действительности представляющему собой, как мы видели, сплющивание картины событий. [34]
Аффинное преобразование, переводящее гиперболоид в себя, определяется тремя независимыми параметрами, в качестве которых можно взять углы трех поворотов аналогично заданию ортогонального преобразования углами Эйлера и соответствующему заданию аффинного преобразования, переводящего эллипсоид в себя, - углами трех ( вообще говоря, косых) эллиптических поворотов. Но только в случае гиперболоида лишь крайние два элементарных преобразования будут эллиптическими поворотами, среднее же будет гиперболическим поворотом. [35]
При этом точки пересечения прямой, параллельной оси г, с гиперболоидами ( 1) симметричны относительно плоскости ху. Поэтому геометрическое место середин хорд гиперболоида ( 1), параллельных оси z, есть вся плоскость ху, если гиперболоид - двуполый, или плоскость ху за вычетом точек некоторого круга ( ограниченного горловой окружностью гиперболоида), если гиперболоид - однополый. Но в силу леммы предыдущего параграфа любую совокупность всех параллельных друг другу хорд первого рода можно с помощью некоторого гиперболического поворота преобразовать в совокупность всех хорд, параллельных оси г. Следовательно, геометрическое место середин параллельных хорд первого рода есть плоскость, проходящая через центр гиперболоида, если гиперболоид - двуполый, либо такая плоскость за вычетом некоторого эллипса, центром которого служат центр гиперболоида, если гиперболоид - однополый. Мы установили это непосредственно для равносторонних гиперболоидов вращения, но по аффинности то же предложение сохраняет силу для произвольных гиперболоидов. [36]
Действительно, достаточно доказать справедливость этого предложения для равносторонних гиперболоидов вращения. Для них каждая диаметральная плоскость первого рода может быть получена с помощью некоторого гиперболического поворота из диаметральной плоскости, перпендикулярной к оси вращения, а каждая диаметральная плоскость второго рода - из диаметральной плоскости, проходящей через ось вращения. Но диаметральная плоскость равностороннего гиперболоида вращения, перпендикулярная к его оси вращения, и эта ось взаимно сопряжены, и точно так же диаметральная плоскость, проходящая через ос вращения, и диаметр, перпендикулярный к этой плоскости, взаимно сопряжены. Отсюда и следует наше утверждение, так как сопряженность диаметра и диаметральной плоскости сохраняется при гиперболическом повороте, как и при любом вообще аффинном преобразовании. [37]