Cтраница 2
Отсюда следует, что на поздних стадиях процесса взрыва погрешности вычислений давления в воде могут более чем на четыре порядка превосходить погрешности численного интегрирования системы дифференциальных уравнений. С учетом того, что основной практический интерес при взрыве составляет определение давления в формирующейся ударной волне, имеет смысл преобразовать систему уравнений (13.1), (13.2) и (13.4) таким образом, чтобы этот параметр определялся непосредственно при численном интегрировании дифференциальных уравнений, а внутреннюю энергию, которая в подобных задачах физики взрыва не представляет интереса, вообще исключить из рассмотрения. Для этого выполним ряд несложных преобразований. [16]
Точно гак же фиксируется некоторая базовая квадратура по переменной / ( часто это квадратура Гаусса с двумя узлами) и строится функция фа ( т) погрешности численного интегрирования по сфере с. Если значения функции / вычисляются независимо, то трудоемкость метода пропорциональна пт. В зависимости от того, какой квадратуре - Гаусса или Симпсона отвечает данное п, выбираем соответствующую квадратуру. [17]
Из этого представления погрешности численного интегрирования следует, что при h - О ( га - -) значения интеграла, получаемые путем численного интегрирования, сходятся к его точному значению. [18]
В рассматриваемом примере, однако, надобности в последующих приближениях нет, так как полученные значения о мало отличаются одно от другого. При этом разница в значениях оказывается заметно меньшей не только погрешностей численного интегрирования, но также и тех ошибок, которые вносятся при выборе расчетной схемы. [19]
Поскольку на вычисление несингулярных интегралов тратится значительная часть машинного времени эта процедура должна быть по возможности оптимизирована. Последнее может быть достигнуто ( как сделали, например, Лаша и Уотсон [1-4] в программе для трехмерной задачи теории упругости) путем задания максимальной верхней границы погрешности численного интегрирования. Попросту говоря, это означает, что порядок квадратурных формул должен меняться в зависимости от отношения расстояния между нагруженным граничным элементом и точкой наблюдения к характерному размеру нагруженного элемента, а также от того, насколько сильной является особенность. [20]
Однако на практике часто применяется кусочно постоянная аппроксимация управления и его значения определены только в заданных узлах временной сетки. Эти значения изменяются в итерационном процессе в соответствии с тем или иным методом оптимизации с целью уменьшения значения минимизируемого функционала или с целью сокращения невязок для заданных терминальных условий. А значения управляющих функций между узлами сетки, необходимые, например, методам численного интегрирования типа Рунге-Кутта, обычно берутся либо равными значению в ближайшем левом узле, либо определяются линейной интерполяцией по значениям функций в левом и в правом узлах. Погрешность численного интегрирования при этом может значительно возрасти и на найденном численном решении системы значения параметров, по которым осуществляется выбор метода, будут неточными. [21]