Погрешность - численный метод
Cтраница 1
Погрешность численного метода обусловлена заменой исходных уравнений, описывающих принятую модель физического явления, другими аппроксимирующими уравнениями, позволяющими построить вычислительный алгоритм, а также приближенностью методов решения этих аппроксимирующих уравнений. Численные методы обычно строятся так, что они содержат некоторый параметр, при стремлении которого к определенному пределу погрешность сходящегося алгоритма стремится к нулю. Таким образом, значение погрешности численного метода можно регулировать, а выбирать ее целесообразно в 2 - 5 раз меньшей неустранимой погрешности. Если сходимость метода доказана, то представление о его точности дает сопоставление расчетов, выполненных при различных значениях параметра численного метода. [1]
Для оценки погрешности численных методов в настоящее время разработано мпожество различных приемов и методов. [2]
Замена исходного дифференциального уравнения разностным приводит к появлению погрешности численного метода, связанной с погрешностью аппроксимации. Для характеристики качества аппроксимации используется понятие ее порядка. [3]
По причинам возникновения различают следующие основные виды погрешностей: погрешность численного метода, или вычислительного алгоритма; принципиальная, или методическая; инструментальная, пли приборная; неустранимая или наследственная. [4]
Описанная методика вычисления с использованием сеточно-харак-теристического метода для моделирования адвекции хотя и удовлетворяет вышеперечисленным требованиям и является консервативной, но не позволяет исключить вычислительную диффузию, возникающую из-за погрешностей численных методов. Особенно ошибка заметна при расчетах для мгновенно действующего источника, а также для постоянного источника при различных направлениях ветра. [5]
Предмет вычислительной математики - численные методы или, что то же самое, множества вычислительных алгоритмов и вопросы их обоснования: сходимость и скорость сходимости численных методов, устойчивость и погрешность численных методов, время реализации численных методов на ВМ, необходимая память ВМ и др. Цель настоящего добавления - изложение основных понятий и некоторых результатов вычислительной математики, которые неоднократно применяются в данной книге и в то же время имеют значительный самостоятельный интерес. [6]
Заменяя заданную задачу близкой к ней приближенной, мы получим некоторую погрешность, которая и называется погрешностью избранного численного метода. В приведенном примере она имеет следующий смысл. [7]
Практически сходящийся итерационный процесс прерывается при некотором значении n N, а полученная величина XN принимается за приближенное решение исходной задачи. Очевидно, что соответствующим выбором величины N, представляющей собой в рассматриваемом случае параметр численного метода, можно добиться любой близости приближенного решения XN к точному х, а погрешность численного метода в данном случае обусловлена конечностью числа итераций. [8]
Как показано на рис. 12.3, кривая нейтральной устойчивости вычисленная этим методом, окружена областью, соответствующей пределу точности, которую можно получить методом локального потенциала. Платтен [136] утверждает, что снижение точности вычислений при больших величинах произведения аЛе связано, по-видимому, с не самосопряженным характером уравнения Орра - Зоммерфельда (12.10), а не с погрешностями численного метода. Фактически Платтен отметил, что несамосопряженный вклад урав-нения Орра - Зоммерфельда описывается величиной iaffieUD2W, роль которой возрастает с ростом ай. В связи с этим следует подчеркнуть, что сходимость, изучавшаяся в разд. [9]
Погрешность численного метода обусловлена заменой исходных уравнений, описывающих принятую модель физического явления, другими аппроксимирующими уравнениями, позволяющими построить вычислительный алгоритм, а также приближенностью методов решения этих аппроксимирующих уравнений. Численные методы обычно строятся так, что они содержат некоторый параметр, при стремлении которого к определенному пределу погрешность сходящегося алгоритма стремится к нулю. Таким образом, значение погрешности численного метода можно регулировать, а выбирать ее целесообразно в 2 - 5 раз меньшей неустранимой погрешности. Если сходимость метода доказана, то представление о его точности дает сопоставление расчетов, выполненных при различных значениях параметра численного метода. [10]
 |
Бифуркационная диаграмма для логистического отображения. [11] |
В математике хаос принято определять несколько иным образом. Будем называть поведение решения математической модели хаотическим, если оно является неустойчивым по отношению к малым возмущениям. В качестве возмущений могут выступать малые изменения начальных данных, параметров модели, погрешность численного метода либо ошибка округления ЭВМ. [12]
Не следует думать, что совершенное знание математики, численных методов и навыки работы с ЭВМ позволяют сразу решить любую прикладную математическую задачу. Во многих случаях требуется доводка методов, приспособление их к решению конкретных задач. При этом типична обстановка, когда используются методы, применение которых теоретически не обосновано, или теоретические оценки погрешности численного метода неприемлемы для практического использования вследствие их громоздкости; при выборе метода решения задачи и анализе результатов приходится полагаться на опыт предшествующего решения задач, на интуицию и сравнение с экспериментом и при этом приходится отвечать за достоверность результата. Поэтому для успеха в работе необходимы развитое неформальное мышление, умение рассуждать по аналогии, дающие основания ручаться за достоверность результата там, где с позиций логики и математики, вообще говоря, ручаться нельзя. [13]
При решении задачи па ЭВМ мы всегда получаем не точное решение исходной задачи, а некоторое приближенное решение. Чем же обусловлена возникающая погрешность. Прежде всего, входные данные исходной задачи ( начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений) всегда задаются с некоторой погрешностью. Погрешность численного метода, обусловленную неточным заданием входных данных, принято называть неустранимой погрешностью. Далее, при замене исходной задачи дискретной задачей возникает погрешность, называемая погрешностью дискретизации или, иначе, погрешностью метода. [14]
При решении задачи па ЭВМ мы всегда получаем не точное решение исходной задачи, а некоторое приближенное решение. Чем же обусловлена возникающая погрешность. Прежде всего, входные данные исходной задачи ( начальные и граничные условия, коэффициенты и правые части уравнений) всегда задаются с некоторой погрешностью. Погрешность численного метода, обусловленную неточным заданием входных данных, принято называть неустранимой погрешностью. Далее, при замене исходной задачи дискретной задачей возникает погрешность, называемая погрешностью дискретизации или, иначе, погрешностью метода. Например, заменяя производную и ( х) разностным отношением ( и ( х & х) - - и ( х)) / Ах, мы допускаем погрешность дискретизации, имеющую при Да; - 0 порядок Л с. Наконец, конечная разрядность чисел, представляемых в ЭВМ, приводит к ошибкам округления, которые могут нарастать в процессе вычислений. [15]
Страницы: 1 2