Cтраница 2
Алгебра adgl) - образ алгебры при присоединенном представлении алгебры g - является подалгеброй алгебры b дериваций алгебры g; алгебра b есть алгебра Ли группы автоморфизмов алгебры g ( теорема 16 § 14 гл. Множество всех дериваций D алгебры g, таких, что D ( a) 0), является алгебраической подалгеброй в b и содержит adgf); следовательно, она содержит также с. Так как а - множество всех элементов из g, перестановочных со всеми элементами из), то оно является одновременно множествОхМ всех элементов из g, отображаемых в 0 всеми операторами из с. Алгебра с есть алгебра Ли неприводимой алгебраической группы Г автоморфизмов алгебры g, a a - множество всех элементов из g, оставляемых на месте операторами из Г ( следствие 5 теоремы 1 из гл. Если ш - такое подпространство алгебры g, что [ I), m ] czm, то множество дериваций алгебры д, отображающих m в себя, образует алгебраическую алгебру Ли, содержащую adgf), а значит, и с. Отсюда следует, что тождественное отображение с в пространство эндоморфизмов пространства g есть полупростое представление алгебры с, так что тождественное отображение группы Г в группу автоморфизмов пространства д - полупростое представление группы Г ( следствие 4 теоремы 1 из гл. [16]
Предположим теперь, что условие выполнено. Пусть L-алгебраически замкнутое надполе поля К. Если д ( Х) - наименьшая алгебраическая подалгебра алгебры gl ( VO, содержащая X, то ( % ( X)) Z-наименьшая алгебраическая подалгебра алгебры gt ( V7), содержащая эндоморфизм X. Если условие теоремы выполнено, то ТгЛД7 0 для всех реплик Хг эндоморфизма X в пространстве &. Мы видим, что при доказательстве достаточности условия можно, не ограничивая общности, предположить основное поле К алгебраически замкнутым. [17]
Как известно, любую полупростую алгебру Ли д ( над К или С) можно отождествить с линейной алгеброй Ли adg дЦй) над тем же полем. Подалгебра I) вещественной полупростой алгебры Ли д называется ( редуктивной) алгебраической, если I) ( С) - ( редуктивная) алгебраическая подалгебра комплексной алгебры Ли 0 ( С) - Например, всякая полупростая подалгебра полупростой алгебры Ли ( над С или К) является редуктивной алгебраической. [18]
Предположим теперь, что условие выполнено. Пусть L-алгебраически замкнутое надполе поля К. Если д ( Х) - наименьшая алгебраическая подалгебра алгебры gl ( VO, содержащая X, то ( % ( X)) Z-наименьшая алгебраическая подалгебра алгебры gt ( V7), содержащая эндоморфизм X. Если условие теоремы выполнено, то ТгЛД7 0 для всех реплик Хг эндоморфизма X в пространстве &. Мы видим, что при доказательстве достаточности условия можно, не ограничивая общности, предположить основное поле К алгебраически замкнутым. [19]