Cтраница 2
Группа, состоящая из л-элементов, называется п-группой. Важными подгруппами конечной группы С являются ее силовские подгруппы. Если р - наивысшая степень простого числа р, делящая IG I, и а е N, то любая подгруппа из С порядка р называется ее силовской р-подгруппой. В 3.8 утверждается, что конечная абелева группа имеет силовскую р-подгруппу для любого простого р, делящего ее порядок. Такие подгруппы существуют в любой конечной группе; см. 5.17 и 10.1.) Неединичная абелева группа, все неединичные элементы которой имеют простой порядок р, называется элементарной абелевой р-группой. [16]
При этом ноле К является расширением Галуа Р и Ga ( K / P) II. Таким образом, описание всех нод-иолей ноля К сводится к описанию всех подгрупп конечной группы Gal ( K / k), что является значительно более простой задачей. Важно, что при этом соответствии хорошим свойствам поднолой отвечают определенные свойства подгрупп и обратно. [17]
Композиционные ( или главные) ряды, как показано в § 8.5, обладают тем свойством, что все они имеют одну и ту же длину. Это свойство является следствием модулярности структуры ни-1 вариантных подгрупп н слабой формы модулярности для композн - S Ционных рядов. Однако, вообще говоря, максимальные цепи про - Г извольных подгрупп могут иметь разную длину. Из теоремы 10.5.5 g; следует, что в конечной сверхразрешимой группе все максималь - иые цепи подгрупп имеют одну и ту же длину. Следующая теорема v Ивасава [1] показывает, что обратное утверждение также верно. ТЕОРЕМА 19.3.1. Максимальные цепа подгрупп конечной группы G имеют равные длины тогда и только тогда, когда группа G сверхразрешима. [18]