Cтраница 2
Для ассоциативных свободных колец или свободных алгебр, а также для неассоциативных свободных колец не может быть доказана теорема, аналогичная теореме Нильсена-Шрейера о подгруппах свободных групп. [16]
Справедлива ли теорема 43.41 дез условия нормальности; иными словами, влечет ли за собой равенство V ( R) V ( F) при некоторой собственной подгруппе R нсабеле-вой свободной группы Г равенство S О. [17]
Описание строения свободной группы было дано в гл. Неодноэлементная подгруппа свободной группы свободна. [18]
ZF) и логически не выводима из последних при условии их непротиворечивости. Каждая подгруппа свободной группы свободна. Существует, и притом единственное с точностью до изоморфизма, алгебраич. Каждое векторное пространство имеет базис. [19]
Пусть Н - конечно порожденная подгруппа свободной группы F F ( S. Анализ того, как сложность изменяется при применении автоморфизмов Уайтхеда, может быть обобщен со случая одного слова, и это приводит к процедуре уменьшения скачка, а значит, и к обобщению приведенных выше результатов. [20]
Чтобы получить о свободных группах дальнейшую информацию, требуются более сильные методы. Уже в 1.3.5 мы использовали метод накрытий для доказательства того, что подгруппа свободной группы свободна и получения формулы для ранга подгруппы конечного индекса. Этот подход требует работы с системой образующих подгруппы, он может рассматриваться как более практически полезный, поскольку подгруппы чаще задаются порождающими, чем системами представителей их смежных классов, необходимыми для применения метода накрывающих пространств. [21]
Как отмечалось в 2.2.7 ( а), эта группа есть свободное произведение двух свободных групп с объединенными бесконечными циклическими подгруппами, и, очевидно, условия предложения 2.2.9 выполнены. То же самое относится и к любому свободному произведению двух свободных групп с объединенными конечно порожденными подгруппами, поскольку в силу следствия 2.1.12 проблема вхождения для конечно порожденных подгрупп свободной группы разрешима, а из общих принципов теории вычислимости следует, что любой изоморфизм конечно порожденных групп всегда эффективно вычислим. [22]
Объединение в одной главе, казалось бы, совсем разных алгебраических систем не случайно. В конце главы устанавливается очень тесная связь между нильпотент-ными группами и нильпотентными алгебрами Ли. Кроме того, доказываются теорема о подгруппах свободной группы, теорема о строении конечных нильпотентных групп, теорема об одновременном приведении всех матриц разрешимой линейной группы к треугольному виду и теорема с представлении алгебр Ли как ассоциативных алгебр о операцией коммутирования. [23]
Природа подгрупп всегда играет фундаментальную роль при изучении групп. Теорема же 7.1.2 указывает на особую роль инвариантных подгрупп в свободных группах. Нильсен [ 1J и Шрей-ер [3] доказали, что подгруппы свободных групп сами свободны. Доказательство Нильсена проходит только для конечно порожденных групп, однако оно было обобщено Леей [1] и другими на произвольные свободные группы. Нильсен оперировал непосредственно элементами подгруппы, а Шрейер - смежными классами по подгруппе. Первое доказательство, которое мы дадим1), представляет собой упрощение доказательства Шрейера. [24]
Фуксовы группы и фундаментальные группы, вообще говоря, были введены как инструменты для работы с проблемами топологии и анализа, необходимо было усовершенствовать эти инструменты, сделать их более эффективными, что вело к развитию понятий и техники комбинаторной теории групп. Первоначально использовавшиеся методы были преимущественно алгебраическими: метод приведения Нильсена и метод наименьших представителей классов смежности Шрайера, использованные для доказательства того, что подгруппа свободной группы свободна, усовершенствование последнего А. Г. Ку-рошем для описания подгрупп свободного произведения - вот их типичные примеры. Одна из наших целей здесь - подчеркнуть, что между комбинаторной теорией групп и топологией идет взаимовыгодный обмен идеями, и мы докажем отмеченные выше теоремы, используя связь между накрытиями пространства и подгруппами его фундаментальной группы. [25]
Однако при переходе к подгруппам и расширениям групп ширина может существенно измениться. Любая неединичная собственная вербальная подгруппа свободного произведения групп G GI G2, отличного от бесконечной группы диэдра Z ( 2) Z ( 2), имеет бескб-нечную ширину. В частности, любая вербальная подгруппа свободной группы Fn, n 2, имеет бесконечную ширину. Любая вербальная подгруппа полициклической ( в частности, конечно порожденной нильпотентной) группы имеет конечную ширину. Любая вербальная подгруппа конечно порожденной почти нильпотентной группы имеет конечную ширину. Любая вербальная подгруппа конечно порожденной группы G e Шуб, k e N, имеет конечную ширину. В частности, приведенное утверждение имеет место для конечно порожденных 9ШР - групп. [26]
Из условий теоремы, утверждения 6.2.4 и предложения 6.2.7 следует, что e ( G) 2 и, таким образом, G расщепляется над конечной подгруппой, которая обязана быть тривиальной, так как G не имеет кручения. Итак, группа G либо бесконечная циклическая, либо нетривиальное свободное произведение. Если вспомнить, что подгруппа свободной группы свободна, то теорема Грушко 2.2.27 позволяет нам применить индуктивное предположение. [27]