Cтраница 2
Если 3, 2 - минимальные связные абелевы подгруппы, содержащие центр, то они сопряжены в &, а их образы в присоединенной группе компактны. Если образе присоединенной группе связной подгруппы 58 компактен, то 95 содержится в одной из минимальных связных абелевых групп, содержащих центр. [16]
Подгруппой Бореля группы G мы называем максимальную среди связных разрешимых подгрупп. Простые соображения о размерности связных подгрупп позволяют сделать вывод, что подгруппы Бореля существуют. [17]
Каждой подалгебре Н d G в соответствует связная подгруппа ф, однако не обязательно замкнутая. С другой - стороны, раз ответ одинаков для эквивалентных форм, то форму можно фиксировать посредством характеристического подмодуля, как это было показано в предыдущем параграфе. Так мы приходим к следующей проблеме: даны алгебра Ли С. А и в А - характеристический подмодуль М определить, каким подалгебрам алгебры G в группе 3, определенной этой алгеброй и подмодулем Af, отвечают замкнутые подгруппы. Для решения проблемы нам понадобятся некоторые общие свойства подгрупп и их алгебр. [18]
Композиционным рядом связной группы Ли мы назовем ряд ее связных подгрупп, из которых каждая является максимальным связным нормальным делителем предыдущей. Связная группа Ли называется разрешимой, если ее инфинитезимальная группа разрешима. Радикалом группы Ли называется ее максимальный связный разрешимый нормальный делитель. [19]
Так как 3 - группа Ли, то ff / HQ дискретна и, следовательно, пространство вычетов Q: ff локально гомеоморфно &: HQ. Группу L мы выбрали связной и односвязной, поэтому всякая ее связная подгруппа Ли будет также односвязной. [20]
Согласно теореме 1 все эти подгруппы являются гладкими подмногообразиями G. Сначала рассмотрим связные подгруппы. [21]
Пусть F - связная подгруппа Ли группы G, имеющая касательную алгебру f, и F - ее односвязная накрывающая группа Ли. Так как FIF есть векторная группа, то в ней существует связная подгруппа Ли. [22]
Почти все утверждения теорем этой главы справедливы лишь для элементарных компактных абелевых групп ( т.е. торов и р-торов) и, к несчастью, неверны для всех остальных компактных групп. Если проанализировать доказательства теорем этой главы, то станет достаточно ясным, что основная причина такого резкого различия в геометрических свойствах действий элементарных абелевых групп и остальных компактных групп лежит в следующем фундаментальном свойстве, однозначно выделяющем элементарные абелевы группы из остальных компактных. G существует каноническое взаимно однозначное соответствие между множеством его связных подгрупп ( соотв, р-подгрупп) и множеством линейных идеалов в H ( BG K) y & Q ( соотв. [23]
Пусть F - связная подгруппа Ли группы G, имеющая касательную алгебру f, и F - ее односвязная накрывающая группа Ли. Так как FIF есть векторная группа, то в ней существует связная подгруппа Ли. [24]
Мы пока не обращали внимания на то, имеет или нет топологию группа G. Если предположить, что группа G топологическая. Совокупность элементовG, оставляющих на месте какой-либо элемент т из М, называется стабильной подгруппой Gm. Если G-локально-компактная группа, со второй аксиомой счетности и действует транзитивно на некотором пространстве М, то легко доказывается, что М гомеоморфио пространству вычетов М по любой стабильной подгруппе Gm. Для пространств с действующими на них группами можно указать следующий аналог пятой проблемы Гильберта: будет ли группой Ли всякая локально компактная связная топологическая группа, транзитивно действующая на некотором топологическом многообразии. В работе 1936 г., оставшейся неопубликованной, Л. С. Понтрягин показал, что для компактных групп эта проблема решается положительно. Полное доказательство было опубликовано впервые и независимо Монтгомери и Циппиным. Им же показано, что пространство вычетов связной, одно-связной разрешимой группы Ли по ее связной подгруппе гомеоморфно евклидову пространству. [25]