Cтраница 2
Линейная группа G c GL ( V) вполне приводима тогда и только тогда, когда для всякого G-инвариантного подпространства пространства V существует G-инвариантное дополнительное подпространство. [16]
Поэтому уравнение (9.14) и формула (9.15) определяют регрессию проекции Y нормально распределенного случайного вектора [ Хт YT ] T на его проекцию X на дополнительное подпространство. Первая формула (4.83) и уравнение (4.82), определяющие регрессию одной координаты нормально распределенного случайного вектора на все остальные его координаты, вытекают из результатов (9.14) и (9.15) как частные случаи. [17]
Доказать, что линейное преобразование ф, отличное от i, для которого ф2 I, есть отражение пространства в подпространстве неподвижных векторов параллельно некоторому дополнительному подпространству. [18]
Поэтому уравнение ( 14) и формула ( 15) определяют регрессию проекции Y нормально распределенного случайного вектора [ Хт YT ] T на его проекцию X на дополнительное подпространство. Формула (4.55) и уравнение (4.57), определяющие регрессию одной координаты нормально распределенного случайного вектора на все остальные его координаты, вытекают из полученных результатов как частные случаи. [19]
В частном случае, когда подпространство G образовано некоторыми единичными координатными векторами, для нахождения характеристической функции проекции вектора X на подпространство G следует в выражении i ( A) положить равными нулю все координаты вектора А в дополнительном подпространстве. [20]
Напомним, что через 7 ( g) мы обозначаем представления, реализуемые в подпространстве функций р ( и), равных нулю при signT и - 1, а через Т - ( g) - представления, реализуемые в дополнительном подпространстве. [21]
Исследование разложения С будет закончено, если мы сможем явно описать операторы проектирования, определенные этим разложением. Нам также понадобятся оценки для оператора T ( t) на дополнительном подпространстве QA, чтобы можно было применять результаты для возмущенных линейных систем. В следующем разделе мы дадим явное представление оператора проектирования через оператор, формально сопряженный с А относительно некоторой билинейной формы. Мотивировкой такого подхода служит то, что окончательные результаты можно выразить на языке, обычном для дифференциальных уравнений. [22]
В четвертой главе изучаются распределения и условные распределения проекций случайного вектора. Выводятся формулы для определения плотности проекции случайного вектора и ее условной плотности при данном значении проекции случайного вектора на дополнительное подпространство по данной плотности случайного вектора. Даются понятия зависимости и независимости случайных величин. Изучаются многомерное нормальное распределение и характеристические функции случайных величин. [23]
В главе 4 изучаются распределения и условные распределения проекций случайного вектора. Выводятся формулы для определения плотности проекции случайного вектора и ее условной плотности при данном значении проекции случайного вектора на дополнительное подпространство по данной плотности случайного вектора. Даются понятия зависимости и независимости случайных величин. Изучаются многомерное нормальное распределение и характеристические функции случайных величин. [24]
Такое разбиение полного набора на два набора ортонормальных спин-орбиталей ( называемых занятыми и незанятыми) является, конечно, совершенно произвольным. Мы говорим, что T [ tys ( занятые S) и У и ( незанятые U) образуют дополнительные подпространства в полном пространстве, натянутом на некоторый полный набор спин-орбиталей. Мы говорим также, что операторы pj и p i проектируют на подпространства f и Т соответственно. [25]
Очевидно, что все наши рассуждения справедливы и в том случае, когда X и Y представляет собой случайные векторы. Поэтому формулы (4.16) и (4.21) определяют условное распределение проекции случайного вектора на любое подпространство при данном значении его проекции на дополнительное подпространство. [26]
Всякая нетривиальная разрешимая алгебра Ли g может быть разложена в полупрямую сумму идеала п коразмерности 1 и одномерной подалгебры а. А именно, в качестве п можно взять любое подпространство коразмерности 1, содержащее g, а в качестве а - любое дополнительное подпространство. Применяя предложение 4.3, индукцией по dimg получаем отсюда следующую теорему. [27]
Очевидно, что все наши рассуждения справедливы и в том случае, когда X и У представляют собой случайные векторы. Поэтому формулы ( 16) и ( 21) определяют условное распределение проекции случайного вектора на любое подпространство при данном значении его проекции на дополнительное подпространство. [28]
Итак, мы видим, что каждая дискретная серия неприводимых унитарных представлений состоит из двух половин - представлений T. ТЙ ( g) - Первые реализуются в подпространстве функций ф ( и) таких, что ф ( и) 0 при signT и - 1; вторые - в дополнительном подпространстве. [29]
Для любого aeR отображение Т ( а, - f - со, а) индуцирует, как в гл. C ( a) C ( a) Cs ( a), где С ( а) соответствует мультипликаторам уравнения (10.2.3) с модулем 1, С ( а) соответствует простому мультипликатору уравнения (10.2.3), равному 1, и, следовательно, имеет базис ра, а Cs ( a) есть дополнительное подпространство, начальным значениям из которого соответствуют решения уравнения (10.2.3), стремящиеся к нулю при / - оо. [30]