Cтраница 1
Закон инерции квадратичных форм состоит в том, что число положительных коэффициентов р и число отрицательных коэффициентов q в канонической квадратичной форме не зависит от базиса, в котором функция k приведена к каноническому виду. [1]
Вследствие закона инерции квадратичных форм, поверхности, задаваемые различными уравнениями вида (91.8) - (91.10), нельзя перевести друг в друга с помощью линейного преобразования переменных и сдвига. При этом различными следует считать уравнения, которые нельзя перевести друг в друга умножением на ( - 1) и изменением нумерации координат. [2]
Согласно закону инерции квадратичных форм число единичных и число мнимоединичных векторов не зависит от выбора базиса, ортонормированного в данной квадратичной метрике. [3]
Отсюда - аналог закона инерции квадратичных форм: если EL - - L - канонич. [4]
СИЛЬВЕСТРА ТЕОРЕМА - то же, что закон инерции квадратичных форм; установлена Дж. СИЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ, производная Фре-ше - см. Производная отображения. [5]
При этом число р положительных и число q отрицательных квадратов являются инвариантами пространства R ( закон инерции квадратичных форм, § 4 главы VI) и определяют его тип. [6]
При этом число р положительных и число q отрицательных квадратов являются инвариантами пространства R ( закон инерции квадратичных форм, § 3 главы VI) и определяют его тип. [7]
Поверхности, задаваемые различными уравнениями вида ( 1), ( 2) и ( 3), нельзя перевести друг в друга аффинным преобразованием вследствие закона инерции квадратичных форм. [8]
Отметим, что как канонический вид ( 4) квадратичной формы, полученный методом Лагранжа, так и канонический вид ( 5), полученный ортогональным преобразованием, содержит два положительных канонических коэффициента и один отрицательный канонический коэффициент, что соответствует закону инерции квадратичных форм. [9]
Это свойство, называемое законом инерции квадратичных форм, дает основание для следующего определения. [10]
Иначе говоря, при любом приведении квадратичной формы к сумме квадратов линейных линейно-независимых форм число квадратов равно рангу упомянутой таблицы. Кроме того, имеет место и еще одно свойство, которое обычно называется законом инерции квадратичных форм, а именно: при любом преобразовании вещественной квадратичной формы к виду ( 156), где линейные формы Xk также вещественны, число положительных коэффициентов ( xft ( и число отрицательных коэффициентов J. Высказанные соображения будут нами доказаны в конце настоящего номера. [11]
Если с - коэффициент при х в у 9 то отсюда получается тем же путем, что и выше, что в симметрической матрице с все главные миноры второй и третьей степени обращаются в нуль. Следовательно, как я показал в моей работе Uber das Tragheitsgesetz der quadratischen Formen ( О законе инерции квадратичных форм) § 2, теорема 2-я ( Sitzungsberichte 1894), все миноры второй степени обращаются в нуль и поэтому с jpaxjppx. Далее следуют те же заключения, что и выше. [12]
Эта теорема доказывается с помощью метода выделения полного квадрата, который называется методом Л агр ан ж а. Следует иметь в виду, что канонический вид квадратичной формы, так же как и линейное невырожденное преобразование, которое приводит квадратичную форму к каноническому виду, определяются неоднозначно. Однако при этом справедлив закон инерции квадратичной формы: число слагаемых с положительными каноническими коэффициентами и число слагаемых с отрицательными каноническими коэффициентами постоянно и не зависит от линейного невырожденного преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. [13]
Число г отличных от нуля коэффициентов в равенствах ( 7) или ( 8) не вависшп от выбора преобразования, приводящего матрицу А к диагонагьноку виду, и равно рангу матрицы А число г называется рангом данной квадратичной или эрмитовой формы. А к диагональному виду ( закон инерции квадратичных форм); это число называется сигнатурой данной квадратичной формы. [14]
При такой постановке задачи коэффициенты ( ift не являются какими-либо определенными числами, как это мы имели выше, но мы можем все-таки высказать некоторое утверждение относительно этих коэффициентов, а именно: число этих коэффициентов, отличных от нуля, должно всегда равняться рангу таблицы, составленной из коэффициентов ailt квадратичной формы. Иначе говоря, при любом приведении квадратичной формы к сумме квадратов линейных линейно-независимых форм число квадратов равно рангу упомянутой таблицы. Кроме того, имеет место и еще одно свойство, которое обычно называется законом инерции квадратичных форм, а именно: при любом преобразовании вещественной квадратичной формы к виду ( 156), где линейные формы Xk также вещественны, число положительных коэффициентов у. Высказанные соображения будут нами доказаны в конце настоящего номера. [15]