Cтраница 2
Коэффициенты с ( могут быть найдены при помощи подстановки ряда (8.10.9) в уравнение (8.10.11) с последующим сравнением коэффициентов в степенных рядах, полученных в результате разложения по степеням А. [16]
Коэффициенты CJM и вектор-функции ХуЛ () могут быть найдены последова тельно подстановкой рядов (4.26), (4.25) в уравнения (4.23), (4.27) после приравнивания соответствующих коэффициентов. [17]
В заключение упомянем, что все правила действий над степенными рядами [445], теорема о подстановке ряда в ряд [446], о делении рядов [448] и, наконец, об обращении степенного ряда [451] сохраняют свою силу и здесь; доказательства, носящие формальный характер, в полной мере годятся и для комплексных степенных рядов. [18]
Существует довольно естественное следствие теоремы Пойа, которое обусловливает важность коэффициентов многочлена, получаемого в результате подстановки ряда 1 х в цикловой индекс произвольной группы подстановок А. [19]
Можно отметить типичные ситуации, когда системы аналитических вычислений успешно применяются Во-первых, в тех случаях, когда имеют место однородные математические объекты, повторяемость однотипных операций и громоздкость выражений Подобное имеет место в задачах небесной механики и общей теории относительности операции с длинными рядами и тензорами, подстановки ряда в ряд, отыскание решений в виде рядов Другой случай - реализация с помощью CAB в символьном виде четко сформулированного алгоритма преобразований Возможности, которые открывают перед исследователями CAB, стимулируют алгоритмизацию задач общей механики, механики сплошной среды и других областей исследования В теоретической механике при выводе уравнений движения механической системы хорошо алгоритмизуется формализм Ла-гранжа, например, и соответствующие преобразования легко выполняют CAB Еще один случай - формирование модели объекта и просмотр многочисленных ее вариантов. [20]
Из сделанного обзора видно, что существующее стремление графически изобразить периодичность элементов и выразить точною функцией) атомные веса до сих пор не привело к надежным результатам, притом ясно, что более всего обещают успеха попытки выразить изменение атомных весов функциями, подобными тем, какие выше указаны под знаком 5, при подстановке ряда целых чисел, так как тогда получаем разрывность или скачки, отвечающие природе элементов. В этом отношении наиболее прямо пошел к делу Армстронг ( 1902), выразив вес атомов рядом целых чисел - без дробей, но его прием не приводит ни к каким следствиям, дополняющим то, что дала уже периодическая система. [21]
Из сделанного обзора видно, что существующее стремление графически изобразить периодичность элементов и выразить точною функциею атомные веса - до сих пор не привело к надежным результатам, притом ясно, что более всего обещают успеха попытки выразить изменение атом-н [ ых ] весов функциями, подобными тем, какие выше указаны под знаком 5, при подстановке ряда целых чисел, так как тогда получаем разрывность или скачки, отвечающие природе элементов. В этом отношении наиболее прямо пошел к делу Армстронг ( 1902), выразив вес атомов рядом целых чисел - без дробей, но его прием не приводит ни к каким следствиям, дополняющим то, что дала уже периодическая система. [22]
Согласно методу Бубнова-Галеркина результат подстановки ряда ( 38) в ( 3) гл. [23]
Обобщение метода Бубнова - Галеркина. Обобщение состоит в ортогонализации результата подстановки ряда ( 38) в уравнение ( 3) гл. [24]
Как правило, в этих работах даются приближенные решения рассматриваемых задач. Например, в работе Брай-тера [23] с помощью метода разделения переменных решается нелинейная краевая задача. Коэффициенты ряда находят путем подстановки ряда в краевое условие. При получении окончательного выражения для распределения плотности тока на электроде используются различные упрощения. Особо следует отметить работы Иосселя и его сотрудников [26], посвященные антикоррозийной защите судов и других сооружений. В работах, посвященных электроосаждению металлов, обычно рассматриваются задачи, в основе которых лежит решение внутренней задачи Неймана, а в работах по антикоррозийной защите возникают внешние задачи. [25]
Разработаны различные методики численного, полуаналитического и аналитического характера для обращения первых интегралов в задачах небесной меха-пики [127-132], реализованные на электронно-вычислительных машинах, хотя, к сожалению, ни одна из них не является универсальной и достаточпо эффективной. Получение явных аналитических зависимостей а, е, со от аномалии D с помощью ЭВМ существенно зависит от мощности ЭВМ и возможностей математического обеспечения; необходимо иметь в стандартном математическом обеспечении ЭВМ пакеты программ для выполнения математических операций над аналитическими выражениями. Такими пакетами являются, например, системы аналитических преобразований ( САП) Reduce [133], УПП [134], но, к сожалению, нельзя утверждать, что на ЭВМ сегодняшнего дня эти пакеты программ являются достаточно эффективными и производительными. К сожалению, применение ЭВМ для выполнения аналитических ( буквенных) операций ( сложение, вычитание, умножение и деление рядов с буквенными коэффициентами, подстановка ряда в ряд и др.), по крайней мере на сегодняшний день, не является столь аффективным, как хотелось бы, поэтому часто представляется целесообразным иметь дело с рядами, коэффициентами которых являются числа. [26]