Cтраница 2
Значит, в этих случаях такой способ нахождения приближенного значения ( по крайней мере, для того промежутка, на одном из краев которого X становится бесконечным) применять непозволительно. Однако это неудобство легко устранить либс преобразованием выражения к другому виду при помощи подходящей подстановки, либо применяя специально для этого промежутка особый способ интегрирования. [16]
По мнению некоторых, в разделении переменных состоит вся основа решения дифференциальных уравнений, так что если предложенное уравнение не допускает разделения переменных, следует искать подходящей подстановки, в результате которой вновь введенные переменные сделают возможным разделение переменных. Конечно, надо было бы желать, чтобы был обнаружен такой метод нахождения подходящей подстановки для любого случая, но в этом вопросе не найдено решительно ничего определенного, так как большинство подстановок, которые до сих пор были в употреблении, на-основывается на каких-либо определенных началах. Далее, нельзя рассматривать разделение переменных как истинную основу всякого интегрирования по той причине, что оно оказывается совершенно бесполезным при решении дифференциальных уравнений второй и более высоких степеней; ниже я изложу другое начало весьма общего характера. Пока же, в настоящей главе, мне кажется целесообразным изложить главнейшие интегрирования, выполняемые с помощью разделения переменных. Ведь в этом трудном деле весьма важно познакомиться с возможно более разнообразными методами. [17]
Этот метод основан на том обстоятельстве, что в уравнениях указанного типа переменное у вместе со своими дифференциалами dy и dzy везде входит в первом измерении или даже в нулевом, и, используя это обстоятельство, решение можно свести к решению уравнения первого порядка, а тем самым задачу следует рассматривать как завершенную. Но, хотя таким образом дифференциальное уравнение второго порядка сводится к дифференциальному уравнению первого порядка, следует все же предостеречь от того, чтобы это сведение принимать за интегрирование, ибо это сведение произведено только с помощью подходящей подстановки, а если хотим получить полный интеграл, то два интегрирования по-прежнему следует еще произвести, и при этом будет введено столько же произвольных постоянных. Все это мы ясно видим в последнем примере и в предшествующих. [18]
Свенсона [3], две ненапечатанные еще заметки С. А р и н ь ш а, содержащая некоторые дополнения к результатам польского математика Яничевского о неприводимых континуумах. Свенсона исследованы интегралы типа - Геллингера методом Гана, приводящим при помощи подходящей подстановки рассматриваемые интегралы к интегралам Лебега. [19]