Cтраница 1
Категорный подход к теории информации обладает рядом преимуществ. Он применим к любым видам структур и позволяет рассматривать двойственные понятия, типа информация - коинформация. [1]
Категорный подход к основаниям теории множеств предполагает, что на первом этапе выделяются категории, близкие категории Set. Так приходим к топосам. В дальнейшем указываются новые аксиомы, приводящие к топосу, эквивалентному Set. Объектами этого топоса и являются множества. Так возникает категорная теория множеств. В категорных терминах формулируется аксиома выбора и доказывается, что эта аксиома делает топос булевым. Выделяется объект натуральных чисел, строится арифметика, а затем и анализ. Все это пока непривычно и трудно, однако этот категорный подход позволяет глубже проникнуть в природу математических понятий и точнее моделировать многое в реальной действительности. [2]
Согласно общему категорному подходу подобъекты определяются через морфизмы. Это, в частности, означает, что понятие нечеткого подмножества должно быть производным от понятия нечеткого отображения. С другой стороны, определение отображения предполагает, что как-то определено равенство элементов. Таким образом, определению нечеткого отображения должно предшествовать определение нечеткого равенства. [3]
По поводу категорного подхода отметим еще, что он позволяет хорошо связывать базы данных в разных типах данных. [4]
Категорный подход привлекателен своей ясностью. Структура выводов, называемая здесь синтаксисом, является определенным типом категории, порождаемой полутуэвской системой. Богатство синтаксиса с точки зрения выводимости зависит от цели исследования, как видно из следующего абзаца. [5]
Во всех этих системах одним из первоначальных понятий является понятие включения. В категорном подходе включения заменяются стрелками. [6]
Еще одно преимущество категорного подхода состоит в том, что он позволяет непосредственно перейти к естественным обобщениям. Соответственно трактуются и модели - состояния баз данных. При определении реляционных алгебр категория булевых алгебр заменяется на категорию алгебр Рейтинга. Множество всех состояний У при заданной 3) является теперь алгеброй Рейтинга. Запросы пишутся на языке формул интуиционистского исчисления предикатов. Определение базы данных в этом общем случае строится по той же схеме, что и в предыдущем пункте. [7]
Все это, безусловно, может быть использовано и в приложениях. Полезность инвариантного категорного подхода очевидна. Однако очевидно также, что невозможно обойтись и без обычной координатной точки зрения, применяющей языковые средства описания теорий. [8]
По-видимому, менее известны применения тензорных произведений, содержащиеся в § 9.5 и 9.6. Материал § 9.5 ориентирован на теорию представлений групп и, в частности, предназначен для доказательства теоремы Хигмана. В § 9.6 мы ограничились только первоначальными сведениями по эквивалентности Мориты, однако уже здесь, как нам кажется, выявилась полезность категорного подхода к классической алгебре. [9]
Объектами категории могут быть множества, универсальные алгебры, топологические пространства. Если некоторый класс систем описывается математическими моделями, допускающими отображения друг в друга, то можно построить категорию таких моделей. Категорный подход полностью отражает эту специфику систем: объекты категории неделимы, но могут быть представлены в виде множества морфизмов. [10]
Цель данной главы - изложить основные понятия, связанные с алгебрами Халмоша, привести важные примеры и собрать основные сведения, применяемые в третьей части книги, посвященной базам данных. Некоторое внимание уделяется и цилиндрическим алгебрам, которые также используются в алгебраических моделях баз данных. Модель базы данных существенно связана с идеей типа данных. Эта идея приводит к более общему взгляду на алгебры Халмоша и цилиндрические алгебры, развиваемому в следующей главе. Категорный подход также учитывает связь с типами данных и используется в теории баз данных. [11]
Эти алгебры точно так же связаны с исчислением предикатов, как булевы алгебры связаны с исчислением высказываний. Алгебраизация исчисления предикатов достигается также на основе цилиндрических алгебр Тар-ского, введенных несколько раньше. Еще один подход к алгеб-раизации исчисления предикатов основан на категорной логике и был открыт в начале шестидесятых годов. Этот категорный подход мы рассмотрим в одиннадцатой главе. [12]
В заключительной одиннадцатой главе рассматривается кате-горный подход в алгебраической логике. На категорном языке дается еще один взгляд на алгебраизацию исчисления предикатов, определяются особые реляционные алгебры. Рассматриваются связи между реляционными алгебрами и алгебрами Халмоша. Мы уже отмечали, что категорный подход позволяет естественно перейти к моделям с нечеткими структурами и моделям, основанным на неклассических логиках. Приводятся некоторые замечания по этому поводу. [13]
Ясно, что любая универсальная алгебра может быть реализована указанным способом. Коммутативным диaгpa шaм в категории Т соответствуют тождества в / - алгебрах. Гомоморфизмами Г - алгебр являются естественные преобразования функторов. Таким образом, все построенные Г - алгебры образуют многообразие, по которому категория Т восстанавливается однозначно. Действительно, пусть С С п О - клон главных производных операций свободной алгебры счетного ранга этого многообразия. Таким образом, категорный подход к универсальным алгебрам эквивалентен изучению многообразий и клонов главных производных операций. Категорный подход к универсальным алгебрам интересен тем, что позволяет рассматривать универсальные алгебры над произвольной категорией с прямыми произведениями. [14]
Ясно, что любая универсальная алгебра может быть реализована указанным способом. Коммутативным диaгpa шaм в категории Т соответствуют тождества в / - алгебрах. Гомоморфизмами Г - алгебр являются естественные преобразования функторов. Таким образом, все построенные Г - алгебры образуют многообразие, по которому категория Т восстанавливается однозначно. Действительно, пусть С С п О - клон главных производных операций свободной алгебры счетного ранга этого многообразия. Таким образом, категорный подход к универсальным алгебрам эквивалентен изучению многообразий и клонов главных производных операций. Категорный подход к универсальным алгебрам интересен тем, что позволяет рассматривать универсальные алгебры над произвольной категорией с прямыми произведениями. [15]