Cтраница 1
Поле р-адических чисел, обозначаемое через Clp, является пополнением поля О, рациональных чисел с р-адическим нормированием. [1]
По сути, поле р-адических чисел Qp ( введенное Куртом Гензелем в 1894) с метрикой рр ( х у) х - у р, где х - х р является нормированием ( аналогом обыкновенного вещественного модуля или абсолютного значения), было первым примером ультраметрического пространства. Тем не менее, этот факт был осознан только в процессе развития общей топологии, основы которой были заложены Павлом Александровым. Общая топология является одной из наиболее абстрактных областей современной математики. [2]
Пусть А - - поле р-адических чисел Qp или его конечное алгебраич. А - и пусть множество A ( k) непусто. Групповая структура превращает X ( k) n коммутативную компактную одномерную Ли р-адическую группу. X - кривая Тейта ( см. 1 ], 5) п существует канонич. А ( А), аналогичная случаю поля С. [3]
Другим классическим примером нормированного поля является поле р-адических чисел, где р - простое число. [4]
Такова же классификация композиционных алгебр над полями р-адических чисел Qp, так как любая квадратичная форма от 5 и более переменных над Qp представляет нуль. Над полем R вещественных чисел существует всего 7 неизоморфных композиционных алгебр: 3 расщепляемых и 4 алгебры с делением: R, С, Н, О. Последние 4 алгебры являются единственными конечномерными альтернативными алгебрами с делением над R. В общем случае они не описаны, однако справедлив следующий фундаментальный результат. [5]
Всякое несвязное локально компактное поле характеристики 0 является конечным расширением поля Qp р-адических чисел. [6]
Группа ( Z0) J Qp Q 8 Zp изоморфна аддитивной группе поля р-адических чисел, которое обычно обозначается через Qp. Часто поле Qp определяют как пополнение поля рациональных чисел в р-адической метрике. [7]
Пусть Е - произведение ( Qp) га сомножителей, каждый из которых совпадает с полем Qp р-адических чисел ( гл. [8]
Кроме того, в силу математических причин нам следует расширить систему р-адических чисел Zp до так называемого поля р-адических чисел Qp, см. гл. Множество Qp имеет более сложную алгебраическую структуру, чем Zp. Система Zp является лишь кольцом, где корректно определены только сложение, вычитание и умножение. Система Qp является полем. В нем корректно определено еще и деление. [9]
Примерами Т - полей могут служить нормированные поля и, в частности, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел или поле р-адических чисел, а также их всевозможные подполя. [10]
Примерами Т - полей могут служить нормированные поля и, в частности, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел или поле р-адических чисел, а также их всевозможные подполя. [11]
Тогда существует конечное множество Y простых чисел, такое, что если р ( j Y, то / имеет нетривиальный нуль в поле Gp р-адических чисел. [12]
Группы AutZp и AutC ( p) топологически изоморфны мультипликативной группе Z кольца Zp целых р-адических чисел ( с естественной топологией), группа AutQ - мультипликативной группе Q поля р-адических чисел. [13]
Группы AutZp и AutC ( po:) топологически изоморфны мультипликативной группе Z кольца Zp целых р-адических чисел ( с естественной топологией), группа Aut Qp - мультипликативной группе Q поля р-адических чисел. [14]
Следовательно, при а - р ( г 0 1 2) и произвольном простом р мы получаем бесконечно много кривых с общим якобиевым многообразием и бирационально неэквивалентных между собой, так как они не эквивалентны даже в поле р-адических чисел. [15]