Cтраница 2
В случае, если k - поле действительных чисел R, говорят о вещественных аналитических многообразиях; если k - поле комплексных чисел С - о комплексных аналитических ( или просто комплексных) многообразиях; если k - поле р-адических чисел QV - о р-а д н ч е с к и х аналитических многообразиях. [16]
Что такая общая теория полей возникла тогда, когда был накоплен, в более частных исследованиях, соответствующий конкретный материал, показывает сноска Штейница к процитированному месту: К этим общим исследованиям особым стимулом для меня была Теория алгебраических чисел Гензеля1), исходным в которой является поле р-адических чисел - поле, которое нельзя отнести ни к функциональным, н к числовым полям в обычном смысле этих терминов. Так новая алгебра ( абстрактная алгебра) естественно вырастала из теоретико-числовых и арифметических исследований, составлявших одно из главных направлении в математике XIX века и уходящих своими корнями в ту наивную проблему решения алгебраических уравнений, с многовековой историей которой читатель уже знаком. [17]
Поле р-адических чисел ( р - фиксированное простое число) получается из поля Q рациональных чисел пополнением его, но не в обычной метрике ( индуцируемой абсолютной величиной числа), а в метрике, связанной с р-а дическим абсолютным значением ( р-а дической нормой) 1 1, к-рая определяется следующим образом. [18]
Q - анизотропная форма), многие из указанных результатов не верны. R, то РОп, ге З, п 4, v0, проста ( a POJ изоморфна прямому произведению О. Oj двух простых групп); если же k - поле р-адических чисел, то при v0 в Оя ( и в О4) существует бесконечный ряд нормальных делителей с абелевыми факторами. Наиболее изучены случаи локально компактного поля и поля алгебраич. [19]
Однако топологии R и Qp отличаются. Поля R и Qp не изоморфны. Грубо говоря, пересечение R и Qp есть Q. Согласно известной теореме теории чисел, теореме Островского, см. [40, 163], существуют только два способа построения нового числового поля путем пополнения поля рациональных чисел. Пополняя Q с помощью вещественного нормирования ( абсолютного значения), получаем поле вещественных чисел. Пополняя Q с помощью р-адического нормирования р, получаем поле р-адических чисел. Любое другое нормирование на Q эквивалентно либо вещественному, либо одному из р-адических. Система р-адических чисел Qp является числовым полем. Поэтому операции сложения, вычитания, умножения и деления там корректно определены. [20]
U), к-рое снабжено пучком Q, получающимся при ограничении на X пучка QylI, где Qu - пучок ростков аналитич. Если k - поле действительных чисел R, говорят о вещественных аналитических пространствах; если k - поле комплексных чисел С - о комплексных аналитических ( просто комплексных) пространствах; если k - поле р-адических чисел Qp - о р-а дических аналитических пространствах. [21]