Cтраница 2
По-видимому, теми же свойствами обладают почти все допустимые поля направлений в CPd, порожденные полиномиальными векторными полями степени п1 в Cd ( ср. [16]
Допустимое поле направлений на комплексной проективной плоскости ( а также на комплексном про - ективном пространстве произвольной размерности) в любой аффинной окрестности порождается полиномиальным векторным полем. [17]
Рп в каждой аффинной карте задается полиномиальным векторным полем. [18]
Обычно проблему Гильберта интерпретируют следующим образом: Какое максимальное число предельных циклов может иметь полиномиальное векторное поле степени п на плоскости. Первый вопрос здесь такой: Верно ли, что любое индивидуальное полиномиальное векторное поле на плоскости имеет конечное число предельных циклов. В 1923 г. Дюлак опубликовал большой мемуар, в котором было доказано, что ответ на этот первый вопрос положителен; для краткости это утверждение называют теоремой конечности. В 1980 г. мемуар Дюлака был переведен ( горьковскими математиками старшего поколения) на русский язык и снабжен восторженным предисловием, в котором говорилось, что это, быть может, лучшая работа по качественной теории дифференциальных уравнений за последние 50 лет. [19]
Пуанкаре поставил вопрос о том, верно ли, что любое полиномиальное векторное поле) имеет конечное число предельных циклов. [20]
Последнее, о чем я хочу рассказать, это то, как в исследование проблемы Гильберта вторглась теория бифуркаций. Я расскажу еще одно неправильное доказательство теоремы о том, что если индивидуальное полиномиальное векторное поле имеет конечное число предельных циклов, то гильбертово число Н ( п) существует. На этот раз обман зарыт очень неглубоко. [21]
Самый интересный вопрос - оценка для числа нулей абелева интеграла сверху. Я думаю, что из сказанного уже понятно, что проблема оценки числа нулей абелева интеграла близка к 16 - й проблеме Гильберта. Если мы решим 16 - ю проблему Гильберта, то автоматически научимся и оценивать сверху число нулей абелевых интегралов, потому что каждый нуль порождает предельный цикл полиномиального векторного поля. Если же мы научимся оценивать сверху число нулей абелевых интегралов, то проблему Гильберта мы не решим. Однако есть все основания назвать эту проблему ослабленной, или облегченной, проблемой Гильберта. Сейчас для этой проблемы есть два конкурирующих названия - касательная, или инфинитезимальная, проблема Гильберта. [22]