Cтраница 2
R) называется гиперболическим, если спектр оператора L целиком лежит вне мнимой оси. Число собственных значений L с отрицательными вещественными частями называется индексом1) оператора L. Заметим, что гиперболическое линейное векторное поле имеет лишь одну особую точку-начало координат. [16]
Исследование нормальных форм в случае, когда линейная часть - нильпотентная жорданова клетка, облегчается теорией представлений алгебры Ли si ( 2), каков бы ни был порядок клетки. В сущности, речь идет о следующей алгебраической задаче. Рассмотрим фазовый поток линейного векторного поля, заданного нильпотентнои жордановои клеткой. Эта однопарамет-рическая группа линейных преобразований действует также на различных пространствах тензоров, например, на пространстве векторных полей с коэффициентами в виде однородных многочленов фиксированной степени. Спрашивается, какова жорданова структура определенных таким образом операторов на пространствах тензоров. [17]
Теперь мы распространим эти результаты на векторные поля. Напомним, что 0 является гиперболической особой точкой поля X, если L DX0 - гиперболическое линейное векторное поле. Мы покажем, что если 0 - гиперболическая особая точка поля X, то траектории поля X в окрестности нуля имеют ту же топологическую структуру, что и траектории линейного векторного поля L. [18]
Теперь мы распространим эти результаты на векторные поля. Напомним, что 0 является гиперболической особой точкой поля X, если L DX0 - гиперболическое линейное векторное поле. Мы покажем, что если 0 - гиперболическая особая точка поля X, то траектории поля X в окрестности нуля имеют ту же топологическую структуру, что и траектории линейного векторного поля L. [19]
Большая ча сть статьи И. Г. Петровского посвящена вопросу о сходстве поведения фазовых кривых нелинейного векторного поля в окрестности особой точки с поведением фазовых кривых линеаризованного векторного поля. Начиная с исследований Пуанкаре и Ляпунова этот вопрос был одним из основных в теории особых точек систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Точная формулировка проблемы зависит от того, какой смысл придается слову сходство. Два векторных ноля называются эквивалентными, если одно из них превращается в другое с помощью замены координат в фазовом пространстве. В зависимости от класса замены различают аналитическую, гладкую, топологическую и формальную эквивалентность. Любопытно отметить, что вначале было исследовано самое тонкое отношение эквивалентности - аналитическая эквивалентность и лишь сравнительно недавно самое грубое - топологическая эквивалентность. К началу 60 - х годов вопрос о сходстве нелинейного векторного поля и его линейной части был в основном решен: нерезонансное 1 линейное векторное поле, как правило, сохраняет свои свойства при малых возмущениях. [20]