Cтраница 1
Вещественно замкнутое поле не является алгебраически замкнутым. [1]
Каждое вещественно замкнутое поле может быть упорядочено одним и только одним способом. [2]
Наиболее известное вещественно замкнутое поле - это поле вещественных чисел. [3]
В любом вещественно замкнутом поле каждый многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один корень. [4]
Пусть F - вещественно замкнутое поле, a sj - соответствующий порядок на F, и пусть F0 - наименьшее подполе поля F. Тогда ( F0, ) изоморфно полю рациональных чисел с обычным порядком. [5]
Пусть F - вещественно замкнутое поле и F0 - его вещественно замкнутое подполе. [6]
Говорят, что вещественно замкнутое поле F есть т) а-поле, если упорядоченное множество ( F, С является т а-множеством. Докажите, что любые два г а-поля мощности соа изоморфны. [7]
Докажите, что вещественно замкнутое поле F является т ] а-полем, если и только если оно - насыщенно. [8]
В любом, вещественно замкнутом поле каждый многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один корень. [9]
Тогда отношение на любом вещественно замкнутом поле является линейным упорядочением, которое не имеет наибольшего и наименьшего элемента. [10]
В силу этой теоремы для вещественно замкнутого поля оказываются справедливыми все следствия, которые выводились в § 79 из теоремы Вейерштрасса о корнях, в частности, теорема Штурма о вещественных корнях. [11]
Спектральные теоремы справедливы над любым вещественно замкнутым полем; наши доказательства сохраняются без изменений. Кроме того, эти доказательства разумным образом близки к тем, которые могли бы быть даны в анализе для гильбертовых пространств и компактных операторов. Существование собственных значений и собственных векторов, однако, должно быть доказано другим методом, например, с использованием теоремы Гельфанда, которую мы фактически доказали в гл. [12]
Отсюда следует, что если К - вещественно замкнутое поле, то билинейная форма К х К - К должна иметь делители нуля, за исключением случаев, когда п - степень двойки. Behrend 1 ]; для К IR более ранние топологические доказательства были даны Шти-фелем и Уитни. Если К IR, то на самом деле п должно быть равно 1, 2, 4 или 8; однако известные доказательства используют топологию, ср. [13]
Например, поле вещественных чисел IR или любое вещественно замкнутое поле является 2-полем. [14]
Под вещественным замыканием поля К мы будем понимать вещественно замкнутое поле L, алгебраическое над К. [15]